[论文解读] Calculus on parameterized quantum circuits

Javier Gil Vidal, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 11

一句话总结

该论文通过利用允许基于傅里叶方法进行微分的本征值间距条件，扩展了参数化量子线路（PQCs）的导数计算，无需辅助量子比特或受控操作。当哈密顿量本征值为有理间距时，可通过多次评估原始线路计算导数，从而实现抗噪声的、基于坐标下降的优化，并获得完整的局部梯度信息。

ABSTRACT

Mitarai, Negoro, Kitagawa, and Fujii proposed a type of parameterized quantum circuits, for which they gave a way to estimate derivatives wrt the parameters using only changes in the values of the parameters, not in the circuit itself, i.e., no ancillas or controlled operations. Recently, Schuld et al. have extended the results, but they need to revert to ancillas and controlled operations for some cases. In this note, we extend the types of MiNKiF circuits for which derivatives can be computed without ancillas or controlled operations --- at the cost of a larger number of evaluation points. We also propose a "training" (i.e., optimizing the parameters) which takes advantage of our approach.

研究动机与目标

• 将MiNKiF参数化量子线路中导数计算的适用范围从广义泡利哈密顿量扩展至更广泛的情形。
• 消除在梯度估计中对辅助量子比特和受控操作的需求，这些操作在NISQ设备上因噪声和连通性限制而存在问题。
• 开发一种利用傅里叶展开获得的完整局部梯度信息的训练方法，以提升优化性能。
• 通过避免复杂导数线路，实现抗噪声的梯度估计。

提出的方法

• 该方法假设每个哈密顿量 $ H_j $ 的本征值为有理间距，即 $ \lambda_j = \alpha k_j $（$ k_j $ 为整数），使得 $ H_j/\alpha $ 具有整数本征值。
• 将导数计算简化为在多个点上评估函数 $ f(t) = \operatorname{tr}(M U(t) \rho U(t)^ {\dagger}) $，其中 $ U(t) = e^{-itH_j} $，采用傅里叶展开方法。
• 通过函数 $ f(t) $ 的傅里叶系数重构导数，这些系数通过在与本征值间距相关的特定点采样 $ f $ 来估计。
• 对于具有超过两个本征值的哈密顿量，该方法使用半定规划求解傅里叶展开的最小值，从而实现精确的导数估计。
• 该方法通过计算函数在每个参数方向上的完整局部依赖关系，支持坐标下降优化。
• 该方法避免使用辅助量子比特和受控操作，保持了线路布局，减少了导数估计中的噪声。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于MiNKiF参数化量子线路中的期望值导数，是否可以在不使用辅助量子比特或受控操作的情况下，针对广义泡利哈密顿量以外的哈密顿量实现计算？
• RQ2 何种本征值间距条件允许通过简单的线路评估实现导数计算，而无需额外的量子资源？
• RQ3 如何利用参数依赖期望值的完整傅里叶展开来设计更鲁棒的优化算法？
• RQ4 在梯度估计中避免使用辅助量子比特是否能减少近场量子设备中的噪声诱导误差？
• RQ5 能够计算完整局部梯度是否相比基于符号或部分导数的方法，能支持更优越的优化策略？

主要发现

• 当每个哈密顿量的本征值为有理间距（即 $ \lambda_j = \alpha k_j $，$ k_j $ 为整数）时，MiNKiF PQCs中期望值的导数可在不使用辅助量子比特或受控操作的情况下计算。
• 所需线路评估次数随不同本征值差值的数量而增长，可能与本征值数量的平方成正比。
• 对于具有两个本征值或三个等间距本征值的哈密顿量，该方法仅需少量评估次数，与先前方法相当或更优。
• 该方法通过傅里叶展开获得完整的局部梯度信息，支持坐标下降等先进优化策略。
• 该方法避免了基于辅助量子比特的导数线路带来的噪声放大，因此更适合NISQ设备。
• 可使用半定规划求解傅里叶展开的最小值，从而在复杂光谱下也能实现精确的导数估计。