[论文解读] CAT(0) cubical complexes for graph products of finitely generated abelian groups

Kim Ruane, Stefan Witzel|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文构建了一个 CAT(0) 范畴的立方复形，使得每个有限图积的有限生成阿贝尔群在此复形上具有适当且共紧的群作用。该构造推广了右-角自由阿廷群的 Salvetti 复形以及右-角自由考克斯eter群的考克斯eter复形，提供了一个统一的几何模型，并给出了此类图积为虚拟共紧特殊群的全新证明。

ABSTRACT

We show that every graph product of finitely generated abelian groups acts properly and cocompactly on a CAT(0) cubical complex. The complex generalizes (up to subdivision) the Salvetti complex of a right-angled Artin group and the Coxeter complex of a right-angled Coxeter group. In the right-angled Artin group case it is related to the embedding into a right-angled Coxeter group described by Davis and Januszkiewicz. We compare the approaches and also adapt the argument that the action extends to finite index supergroup that is a graph product of finite groups.

研究动机与目标

• 构建一个 CAT(0) 立方复形，使得每个有限图积的有限生成阿贝尔群在此复形上具有适当且共紧的群作用。
• 将右-角自由阿廷群的 Salvetti 复形（以及右-角自由考克斯eter群的考克斯_ter复形）统一为一个单一的几何模型。
• 提供一种替代证明，表明有限生成阿贝尔群的图积是虚拟共紧特殊群。
• 通过涉及半直积的陪集复形构造，建立群论构造与几何作用之间的联系。

提出的方法

• 作者通过在 $ \mathbb{N} \cup \{\infty\} $ 中为顶点分配标签，定义了循环群的图积 $ G(\Gamma) $，其中交换生成元通过边相连。
• 他们引入了一个单词上的长度函数，以区分有限与无限循环生成元，从而实现对词问题的精细化分析。
• 构造了一个立方复形 $ X(\Gamma) $，作为由有限顶点群元素以及 $ \langle s \rangle $、$ \langle s^{-1} \rangle $ 生成的子群的陪集复形。
• 通过一个群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ 扩展构造，该群是 $ G(\Gamma) $ 与由 $ (s,0) $ 生成的群 $ E $ 的半直积，使得作用可被提升至更大的群。
• 定义了一个第三个复形 $ Y $，即 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ 中子群陪集的偏序集的实现，证明其与 $ X(\Gamma) $ 和 $ X(\Gamma^\prime) $ 均具有等变同构。
• 关键技术步骤利用蒂茨变换与半直积分解，证明群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ 在 $ X(\Gamma) $ 和 $ X(\Gamma^\prime) $ 上的作用保持同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限图积的有限生成阿贝尔群是否都能实现为在 CAT(0) 立方复形上的几何作用？
• RQ2 所提出的立方复形与右-角自由阿廷群和考克斯eter群的经典 Salvetti 复形及考克斯_ter 复形有何关系？
• RQ3 是否存在一种群论构造，能统一这些复形上的作用，并扩展戴维斯–贾努什基耶维奇嵌入方法？
• RQ4 该构造是否能提供一种新证明，表明此类图积是虚拟共紧特殊群？

主要发现

• 所构造的立方复形 $ X(\Gamma) $ 是可缩的，并且接受 $ G(\Gamma) $ 的适当且共紧作用，因此成为该群的几何模型。
• 复形 $ X(\Gamma) $ 同时推广了右-角自由阿廷群的 Salvetti 复形与右-角自由考克斯_ter 群的考克斯_ter 复形。
• $ G(\Gamma) $ 在 $ X(\Gamma) $ 上的作用可延拓至一个有限指数的超群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $，该群是有限群与无限循环群的图积。
• $ X(\Gamma) $ 与关联于 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ 的陪集复形 $ Y $ 之间存在等变同构，从而在群论构造与戴维斯–贾努什基耶维奇构造之间建立了桥梁。
• 该构造提供了一种替代证明，表明有限生成阿贝尔群的图积是虚拟共紧特殊群，确认了金（2012）的结果。