[论文解读] Categories enriched over a quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions

Lili Sheng, Dexue Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 21

一句话总结

本文将 Isbell 伴随和 Kan 扩张推广至小量值化类 Q- enriched 范畴，证明每个 Q-分配器诱导出两个伴随——Isbell 与 Kan——在预层范畴上产生单子。这些构造通过 infomorphism 实现函子性，且自由共补全函子通过这两种构造分解，将经典范畴论推广至量值化类- enriched 设置，应用于闭包空间与完备 Q-范畴。

ABSTRACT

Each distributor between categories enriched over a small quantaloid Q gives rise to two adjunctions between the categories of contravariant and covariant presheaves, and hence to two monads. These two adjunctions are respectively generalizations of Isbell adjunctions and Kan extensions in category theory. It is proved that these two processes are functorial with infomorphisms playing as morphisms between distributors; and that the free cocompletion functor of Q-categories factors through both of these functors.

研究动机与目标

• 将 Isbell 伴随和 Kan 扩张推广至小量值化类 Q- enriched 范畴。
• 定义并研究由 Q-分配器在 Q-范畴之间诱导出的两个伴随——Isbell 与 Kan。
• 通过 infomorphism 作为分配器之间的态射，建立这些构造的函子性。
• 证明 Q-范畴的自由共补全函子可分解通过 Isbell 与 Kan 两种构造。
• 研究完备 Q-范畴作为由分配器导出的闭包算子的不动点的表示。

提出的方法

• 引入 Q-范畴 A 与 B 之间的 Q-分配器 φ : A −◦−→B，并定义两个伴随：φ↑⊣φ↓: PA ⇀P†B（Isbell）与 φ∗⊣φ∗: PB ⇀PA（Kan）。
• 利用 Q-范畴中的 Yoneda 与 co-Yoneda 嵌入，推广经典 Isbell 对偶性。
• 将 infomorphism 定义为满足复合与对偶性相容条件的对 (F, G)，作为 Q-分配器之间的态射。
• 构造单子 φ↓◦φ↑ 在 PA 上与 φ∗◦φ∗ 在 PB 上，将其解释为 A 与 B 上的闭包算子。
• 证明这些单子的不动点分别构成完备 Q-范畴 M(φ) 与 K(φ)。
• 利用构造的函子性，证明自由共补全函子 P 可分解通过 M 与 K。

实验结果

研究问题

• RQ1 Isbell 伴随与 Kan 扩张能否推广至小量值化类 Q- enriched 范畴？
• RQ2 Isbell 与 Kan 伴随构造是否关于 Q-分配器之间的 infomorphism 是函子性的？
• RQ3 Q-范畴的自由共补全函子是否可分解通过 Isbell 与 Kan 两种构造？
• RQ4 在何种条件下，每个完备 Q-范畴均可表示为某个 Q-分配器 φ 的 K(φ)？
• RQ5 对偶族与 Girard 量值化类在实现完备 Q-范畴对称表示中起何作用？

主要发现

• 每个 Q-分配器 φ : A −◦−→B 诱导出两个伴随：φ↑⊣φ↓（Isbell）与 φ∗⊣φ∗（Kan），推广经典构造。
• 映射 φ ↦ (A, φ↓◦φ↑) 是从 Q-分配器与 infomorphism 的范畴到 Q-闭包空间的函子。
• 映射 φ ↦ (B, φ∗◦φ∗) 是到 Q-闭包空间的反变函子。
• φ↓◦φ↑ 的不动点构成完备 Q-范畴 M(φ)，φ∗◦φ∗ 的不动点构成完备 Q-范畴 K(φ)。
• 自由共补全函子 P 可分解通过 M 与 K，表明其普遍性。
• 对于 Girard 量值化类，每个骨架完备 Q-范畴都同构于某个 Q-分配器 φ 的 K(φ)，通过对偶性与否定函子 ¬ 实现。