[论文解读] Categorification via blocks of modular representations for sl(n)

Vinoth Nandakumar, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 4

一句话总结

该论文利用特征 $ p > n $ 且弗罗贝尼乌斯特征为零的域上的 $σ\mathfrak{l}_n$ 的模表示块，构建了伯恩斯坦、弗伦克尔与霍瓦诺夫对 $σ\mathfrak{l}_n$ 张量积的范畴化在正特征下的类比。该范畴化具有一个与基于格拉斯曼流形余切丛上凝聚层的几何范畴化等价的科祖尔分次提升，并表明分层穆凯伊弗洛普在互补格拉斯曼流形上诱导了导出范畴上的奇异等价。

ABSTRACT

Bernstein, Frenkel, and Khovanov have constructed a categorification of tensor products of the standard representation of $\mathfrak{sl}_2$, where they use singular blocks of category $\mathcal{O}$ for $\mathfrak{sl}_n$ and translation functors. Here we construct a positive characteristic analogue using blocks of representations of $\mathfrak{sl}_n$ over a field $ extbf{k}$ of characteristic $p$ with zero Frobenius character, and singular Harish-Chandra character. We show that the aforementioned categorification admits a Koszul graded lift, which is equivalent to a geometric categorification constructed by Cautis, Kamnitzer, and Licata using coherent sheaves on cotangent bundles to Grassmanians. In particular, the latter admits an abelian refinement. With respect to this abelian refinement, the stratified Mukai flop induces a perverse equivalence on the derived categories for complementary Grassmanians. This is part of a larger project to give a combinatorial approach to Lusztig's conjectures for representations of Lie algebras in positive characteristic.

研究动机与目标

• 将伯恩斯坦、弗伦克尔与霍瓦诺夫对 $σ\mathfrak{l}_2$ 张量积的范畴化扩展至正特征，利用模表示。
• 通过几何范畴化作用与局部化理论，构建该范畴化的科祖尔分次提升。
• 建立模范畴化与基于格拉斯曼流形余切丛上凝聚层的几何范畴化之间的等价性。
• 证明在几何构造的阿贝尔精化下，分层穆凯伊弗洛普在互补格拉斯曼流形上诱导了导出范畴上的奇异等价。
• 通过基于奇异块与环面分次范畴的组合框架，支持李代数在正特征下的吕斯蒂格猜想。

提出的方法

• 使用代数闭域 $k$ 上特征 $p > n$ 且弗罗贝尼乌斯特征为零的 $σ\mathfrak{l}_n$ 的模表示的奇异块，以及奇异哈里什-钱德拉特征。
• 在这些块之间应用平移函子，以定义范畴化的 $σ\mathfrak{l}_2$-作用，从而提升标准表示张量积。
• 利用考蒂斯、卡姆尼策与李察塔的几何范畴化理论，构建范畴化的分次提升。
• 利用贝兹鲁卡夫尼克夫、米尔科维奇与鲁明宁的几何局部化理论，将模表示范畴与格拉斯曼流形余切丛上的凝聚层联系起来。
• 在 $χ\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_r} \times_{\mathfrak{g}} \widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_{r+1}} \times_{\mathfrak{g}} \{0\}$ 上构造傅里叶-穆凯伊核，以实现函子及其自然变换。
• 验证函子与自然变换之间的仿射尼尔海克关系在分次设定下成立，从而也意味着其在无分次情形下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $σ\mathfrak{l}_n$ 的模表示构造出伯恩斯坦-弗伦克尔-霍瓦诺夫范畴化的正特征类比？
• RQ2 该模范畴化是否具有一个与已知几何范畴化等价的科祖尔分次提升？
• RQ3 在几何构造的阿贝尔精化下，分层穆凯伊弗洛普在互补格拉斯曼流形上诱导的导出等价是否为奇异等价？
• RQ4 表示上的环面分次如何与正特征下吕斯蒂格猜想的表述相关联？
• RQ5 能否利用范畴对称霍华德对偶的几何构造，将范畴化提升至非零弗罗贝尼乌斯中心特征的表示？

主要发现

• 在特征 $p > n$ 且弗罗贝尼乌斯特征为零的条件下，通过 $σ\mathfrak{l}_n$-表示的块实现的模范畴化具有科祖尔分次提升。
• 该分次提升与考蒂斯、卡姆尼策与李察塔利用格拉斯曼流形余切丛上凝聚层构造的几何范畴化等价。
• 当几何构造配备阿贝尔精化时，分层穆凯伊弗洛普在互补格拉斯曼流形的凝聚层导出范畴上诱导了奇异等价。
• 由分层穆凯伊弗洛普诱导的导出等价是奇异的，这通过结合定理 B 与推论 2.13 得到证实。
• 函子与自然变换之间的仿射尼尔海克关系在分次设定下成立，因此在无分次情形下也成立。
• 范畴对称霍华德对偶的几何构造可用于获得非零弗罗贝尼乌斯中心特征表示的范畴化的分次提升。