[论文解读] Categorified trace for module tensor categories over braided tensor categories

André Henriques, David Penneys+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文引入了针对辫子典范范畴 C 上的模张量范畴 M 的范畴化迹函子 TrC: M → C，为其配备了丰富的辫子分支管状图解演算。核心贡献在于证明 TrC 保持代数结构——当 A 和 B 为代数对象时，TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 也是代数对象，且在温和假设下，若 A 和 B 为半单，则 TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 亦为半单。

ABSTRACT

Given a braided pivotal category $\mathcal C$ and a pivotal module tensor category $\mathcal M$, we define a functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}:\mathcal M o \mathcal C$, called the associated categorified trace. By a result of Bezrukavnikov, Finkelberg and Ostrik, the functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ comes equipped with natural isomorphisms $τ_{x,y}:\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(x \otimes y) o \mathrm{Tr}_{\mathcal C}(y \otimes x)$, which we call the traciators. This situation lends itself to a diagramatic calculus of `strings on cylinders', where the traciator corresponds to wrapping a string around the back of a cylinder. We show that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ in fact has a much richer graphical calculus in which the tubes are allowed to branch and braid. Given algebra objects $A$ and $B$, we prove that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are again algebra objects. Moreover, provided certain mild assumptions are satisfied, $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are semisimple whenever $A$ and $B$ are semisimple.

研究动机与目标

• . 为辫子张量范畴上的典范模张量范畴定义范畴化迹函子 TrC: M → C。
• . 建立基于辫子分支管状图的 TrC 图解演算，推广标准的弦图演算。
• . 证明 TrC 保持代数结构，表明当 A 和 B 为代数对象时，TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 亦为代数对象。
• . 建立 TrC 保持半单性的条件：若 A 和 B 为半单代数对象，则 TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 在 C 中亦为半单代数对象。
• . 将迹转换器、乘法与单位映射统一为包含辫子与扭转变换的协调图解演算。

提出的方法

• . 范畴化迹 TrC 定义为函子 Φ: C → M 的右伴随，其中 Φ(c) = c · 1M。
• . 迹转换器 τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) 通过 Drinfel’d 中心理解嵌入 ΦZ: C → Z(M) 构造，利用中心的自然同构。
• . 使用三维中的管状结构发展完整的图解演算，将对象从平面提升至圆柱面，允许辫子与分支。
• . 乘法映射 µx,y: TrC(x)⊗TrC(y) → TrC(x⊗y) 与单位映射 i: 1C → TrC(1M) 由右伴随的 lax 单位结构导出。
• . 通过涉及同伦不变性的图解恒等式，形式化迹转换器、乘法与基范畴 C 中辫子/扭转变换之间的相互作用。
• . 将理论应用于表明 TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 从 A 与 B 继承代数结构，且在温和假设下保持半单性。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 如何为辫子张量范畴上的模张量范畴定义范畴化迹函子？
• RQ2 . 哪种图解演算控制范畴化迹的行为，特别是涉及管状的辫子与分支？
• RQ3 . 在何种条件下，范畴化迹保持模范畴中对象的代数结构？
• RQ4 . 在何种条件下，范畴化迹保持对象的半单性？
• RQ5 . 迹转换器、乘法与单位映射如何与基范畴 C 中的辫子与扭转变换相互作用？

主要发现

• . 范畴化迹 TrC: M → C 是一个 lax 单位函子，配备自然的单位与乘法映射。
• . 迹转换器 τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) 存在，并满足所需的循环公理 τx,y⊗z = τz⊗x,y ◦ τx⊗y,z。
• . 当 A 为 M 中的代数对象时，TrC(A) 是 C 中的代数对象。
• . 当 A 与 B 均为 M 中的代数对象时，TrC(A⊗B) 是 C 中的代数对象。
• . 若 A 与 B 为 M 中的半单代数对象，则在温和假设下，TrC(A) 与 TrC(A⊗B) 为 C 中的半单代数对象。
• . TrC 的图解演算在同伦不变性下保持不变，如后续论文 [HPT15] 所建立，使用 C 内部的平面代数。