[论文解读] Causal transport in discrete time and applications

Julio Backhoff‐Veraguas, Mathias Beiglböck+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在离散时间下建立了因果最优传输的动态规划原理，将其与一般最优传输问题联系起来。文中确定了Knothe-Rosenblatt重排作为Brenier映射因果类比的条件，并为嵌套距离推导出传输-信息不等式，从而实现随机规划中差异性的分析。

ABSTRACT

Loosely speaking, causal transport plans are a relaxation of adapted processes in the same sense as Kantorovich transport plans extend Monge-type transport maps. The corresponding causal version of the transport problem has recently been introduced by Lassalle. Working in a discrete time setup, we establish a dynamic programming principle that links the causal transport problem to the transport problem for general costs recently considered by Gozlan et al. Based on this recursive principle, we give conditions under which the celebrated Knothe-Rosenblatt rearrangement can be viewed as a causal analogue to the Brenier's map. Moreover, these considerations provide transport-information inequalities for the nested distance between stochastic processes pioneered by Pflug and Pichler, and so serve to gauge the discrepancy between stochastic programs driven by different noise distributions.

研究动机与目标

• 为离散时间下的因果最优传输开发一个动态规划框架，将经典最优传输扩展至因果约束计划。
• 刻画Knothe-Rosenblatt重排在Monge问题中作为Brenier映射因果对应物的条件。
• 为随机过程之间的嵌套距离推导出传输-信息不等式，从而实现在多阶段随机规划中的误差量化。
• 阐明因果与双因果最优传输问题之间的关系，特别是它们在何时重合或相异。
• 研究因果Monge映射的存在性与结构，表明即使经典Monge映射存在，此类映射也可能不存在。

提出的方法

• 将因果传输计划形式化为满足时间自适应条件独立性约束的联合分布，确保未来决策仅依赖于过去信息。
• 通过在条件分布上递归最小化成本，推导出动态规划原理，将全局问题简化为序列优化。
• 为因果最优传输问题建立对偶形式，并在适当条件下证明对偶间隙为零。
• 利用递归结构表明，在可分成本和独立边际下，Knothe-Rosenblatt映射可解因果Monge问题。
• 通过反例表明，当独立性或可分性假设不成立时，因果性与双因果性可能产生不同的最优值。
• 采用嵌套距离作为度量，量化由不同噪声分布驱动的随机程序之间的差异，并将其与传输不等式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Knothe-Rosenblatt重排可解离散时间下的因果Monge问题？
• RQ2 因果与双因果最优传输问题在何时产生相同的最优值？需要哪些结构性假设？
• RQ3 如何利用动态规划原理递归求解具有通用成本函数的因果最优传输问题？
• RQ4 如何利用因果传输为随机过程之间的嵌套距离推导出传输-信息不等式？
• RQ5 当经典Monge映射存在时，因果Monge映射是否可能存在？何种条件会阻止其存在？

主要发现

• 动态规划原理将因果最优传输问题简化为一系列条件最小化问题，从而实现递归求解构造。
• 当源测度为其边际的乘积且成本可分时，Knothe-Rosenblatt重排提供了最优的因果传输映射。
• 在例7.1中，最优因果值为0.15，而最优双因果值为0.19，表明在成本非可分时存在严格差距。
• 在例7.2中，最优因果值为2.528，双因果值为2.72，即使在可分二次成本下，当源测度非边际乘积时仍存在差距。
• 例7.3表明，对于某些测度，即使非因果Monge映射存在，因果Monge映射也不存在，原因在于时间信息约束。
• 本文证明，Rüschendorf（1985）提出的单调回归条件不足以保证因果与双因果问题的相等，即使在可分成本下亦然。