[论文解读] Causality of singular linear discrete time systems

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文利用矩阵束理论研究了奇异线性离散时间系统及其分数阶对应系统的因果性。通过分析解的结构并采用Weierstrass标准型，建立了状态和输出因果性的必要与充分条件，表明因果性取决于输出矩阵的零空间性质以及系统束的幂零部分的性质。

ABSTRACT

We consider two type of systems, a linear singular discrete time system and a linear singular fractional discrete time system whose coefficients are square constant matrices. By assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants we investigate and provide properties for causality between state and inputs and causality between output and inputs.

研究动机与目标

• 分析具有方常系数矩阵的奇异线性离散时间系统的因果性。
• 通过nabla Riemann-Liouville差分，将因果性分析扩展到奇异分数阶离散时间系统。
• 为两种系统类型推导状态和输出因果性的必要与充分条件。
• 表征一致初始条件在确保唯一且因果解存在中的作用。
• 将因果性与矩阵束的结构特性（特别是幂零部分和有限特征值部分）联系起来。

提出的方法

• 利用矩阵束理论，通过非奇异变换P和Q将系统矩阵对(F, G)分解为Weierstrass标准型。
• 应用Weierstrass型，利用J_p（若尔当代数矩阵）和H_q（幂零矩阵）将解分离为有限特征值和无限特征值分量。
• 利用离散Mittag-Leffler函数和上升阶乘，推导标准系统和分数阶系统的显式解公式。
• 引入一致初始条件的概念，并证明其对唯一解存在性的必要性。
• 通过分析Y_k和X_k对过去输入的依赖性，特别是包含H_q^i P_2 V_{k+i}的项，分析因果性。
• 通过零空间约束建立因果性条件：H_q P_2 B = 0 且 C[Q_q H_q^i P_2 B] = 0（i = 1 到 q*-1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异线性离散时间系统的状态会因果性地依赖于过去输入？
• RQ2 矩阵束(F, G)的结构如何影响系统状态和输出的因果性？
• RQ3 奇异分数阶离散时间系统中输出因果性的必要与充分条件是什么？
• RQ4 一致初始条件与唯一因果解的存在性之间有何关系？
• RQ5 幂零分量H_q在决定奇异系统非因果行为中起什么作用？

主要发现

• 系统(1)中状态与输入之间的因果性成立，当且仅当存在矩阵B使得V_k = BU_k且H_q P_2 B = 0。
• 输出与输入之间的因果性成立，当且仅当矩阵[Q_q H_q P_2 B, ..., Q_q H_q^{q*-1} P_2 B]的每一列都位于C的右零空间中。
• 对于分数阶系统(2)，由于涉及∇_0^{in} H_q^i P_2 V_k的求和结构，解因果性地依赖于过去输入。
• 系统(2)的解存在且唯一，当且仅当矩阵束sF - G的所有有限特征值都位于开单位圆|s| < 1内。
• 两个系统的唯一解完全由一致初始条件和过去输入决定，状态和输出通过Weierstrass分解显式表达。
• 离散Mittag-Leffler函数F_{n,n}(J_p (k+n)^{ar{n}})在表征分数阶系统的因果行为中起关键作用。