[论文解读] Chaplygin's sphere

J. J. Duistermaat|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用 26

一句话总结

本文對具有任意转动惯量的 Chaplygin 可积系统在水平面上滚动的球体进行了全面分析，证明其在时间重参数化后，旋转运动在二维环面上呈准周期性。本文建立了复化系统的代数可积性，并将动力学与具有左不变度量的欧几里得运动群上的测地流联系起来。

ABSTRACT

Chaplygin proved the integrability by quadratures of a round sphere, rolling without slipping on a horizontal plane, with center of mass at the center of the sphere, but with arbitrary moments of inertia. Although the system is integrable in every sense of the word, it neither is a hamiltonian system, nor is the integrability an immediate consequence of the symmetries. On the other hand the constants of motion are obtained as a consequence of a Nother's principle and the system can be related to the geodesic flow on the Euclidean motion group for a left invariant metric. In this paper we analyse the global dynamics and in the process we will explain almost all of Chaplygin's results. At the end of each section we describe in a subsection ``Chaplygin'' the relation between our text and Chaplygin's. We also obtain several new results, such as the proof that the level sets of the constants of motion in the phase space for the rotational motion are two-dimensional tori on which, after a suitable time reparametrization, the rotational motion is quasiperiodic. After suitable completion of the level surfaces this is also true for the complexified system, which is algebraically integrable in the sense of Adler and van Moerbeke. This also follows, in a quite different way, from Chaplygin's integration in terms of hyperelliptic integrals.

研究动机与目标

• 为 Chaplygin 的可积系统（具有任意转动惯量的滚动球体）提供一种现代的、全局的分析。
• 通过将系统与具有左不变度量的欧几里得运动群上的测地流联系起来，澄清并扩展 Chaplygin 的原始结果。
• 证明相空间中运动常数的轨线在时间重参数化后，其旋转运动在二维环面上呈准周期性。
• 表明复化系统在 Adler 与 van Moerbeke 的意义下是代数可积的，同时采用几何方法与阿贝尔积分方法进行证明。

提出的方法

• 尽管该系统并非哈密顿系统，仍利用诺特定理从对称性推导出运动常数。
• 通过识别守恒量的轨线为二维环面，分析相空间的结构。
• 应用时间重参数化，将旋转动力学转化为环面上的准周期运动。
• 将系统与赋予左不变黎曼度量的欧几里得运动群上的测地流联系起来。
• 通过完成轨线面来研究复化系统，确立其代数可积性。
• 将结果与 Chaplygin 原始的通过阿贝尔积分实现的积分方法联系起来，通过另一种几何方法验证其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管该系统非哈密顿系统，其全局动力学应如何系统地分析？
• RQ2 相空间中运动常数的轨线的拓扑结构是什么？
• RQ3 在何种条件下旋转运动变为准周期性？时间重参数化如何促成这一性质？
• RQ4 复化系统如何实现代数可积性？这对系统全局行为有何含义？
• RQ5 该系统的可积性如何源于几何结构，而非标准的对称性方法？

主要发现

• 相空间中旋转运动的运动常数的轨线为二维环面。
• 经过适当的时间重参数化后，该环面上的旋转运动变为准周期性。
• 复化系统在 Adler 与 van Moerbeke 的意义下是代数可积的，其依据是轨线面的完成。
• 该系统的可积性与具有左不变度量的欧几里得运动群上的测地流密切相关。
• 结果与 Chaplygin 原始的通过阿贝尔积分实现的积分一致，且通过另一种几何方法得到验证。
• 诺特定理即使在系统非哈密顿的情况下，仍可提供运动常数。