[论文解读] Character D-modules via Drinfeld center of Harish-Chandra bimodules

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了复半单群 G 上的 Harish-Chandra 双模的阿贝尔张量范畴的 Drinfeld 中心与 G 上特征 D-模范畴之间的范畴等价。通过利用长互联系合函子以及 Harish-Chandra 函子的正合性，作者将特征 D-模实现为 Drinfeld 中心，从而为 Lusztig 在 ℂ 上对单连通特征层的分类提供了一套新的几何与范畴论框架。

ABSTRACT

The category of character D-modules is realized as Drinfeld center of the abelian monoidal category of Harish-Chandra bimodules. Tensor product of Harish-Chandra bimodules is related to convolution of D-modules via the long intertwining functor (Radon transform) by a result of Beilinson and Ginzburg. Exactness property of the long intertwining functor on a cell subquotient of the Harish-Chandra bimodules category shows that the truncated convolution category can be realized as a subquotient of the category of Harish-Chandra bimodules. Together with the description of the truncated convolution category arXiv:math/0605628v3 this allows us to derive classification of irreducible character sheaves over $\mathbb C$ obtained by Lusztig by a different method. We also give a simple description for the top cohomology of convolution of character sheaves over $\mathbb C$ in a given cell modulo smaller cells and relate the so-called Harish-Chandra functor to Verdier specialization in the De Concini-Procesi compactification.

研究动机与目标

• 为复半单群 G 上的特征 D-模提供一种新的几何与范畴论解释。
• 建立具有平凡广义中心特征标之 Harish-Chandra 双模范畴的 Drinfeld 中心与特征 D-模范畴之间的等价性。
• 在一项温和的技术假设下，通过范畴方法重新获得 Lusztig 在 ℂ 上对不可约单连通特征层的分类。
• 将 Harish-Chandra 函子与 De Concini-Procesi 紧化中的 Verdier 专门化联系起来。
• 通过截断卷积范畴描述特征层卷积在更小胞腔模下的上同调。

提出的方法

• 将特征 D-模范畴实现为 Harish-Chandra 双模的阿贝尔张量范畴的 Drinfeld 中心。
• 利用长互联系合函子（Radon 变换）将 Harish-Chandra 双模的张量积与 D-模的卷积联系起来。
• 通过 Beilinson-Bernstein 对偶性，证明 Harish-Chandra 函子与整体截面函子的直和项复合的正合性。
• 应用中心的 Morita 不变量，将 HC^λ̂ 的 Drinfeld 中心与特征 D-模范畴联系起来。
• 通过胞胞商构造，将截断卷积范畴实现为 Harish-Chandra 双模范畴的子商范畴。
• 利用 Malgrange-Kashiwara V-滤子与专门化，将 Harish-Chandra 函子与 De Concini-Procesi 紧化中 stratum 的 Punctured 正常丛上的 Verdier 专门化联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 G 上的特征 D-模实现为 Harish-Chandra 双模范畴的 Drinfeld 中心？
• RQ2 长互联系合函子在将 Harish-Chandra 双模的张量积与 D-模的卷积联系起来的过程中起什么作用？
• RQ3 Harish-Chandra 函子（与整体截面函子复合）的正合性如何促成 Drinfeld 中心的构造？
• RQ4 截断卷积范畴以何种方式嵌入 Harish-Chandra 双模范畴中，这与胞理论有何关联？
• RQ5 Harish-Chandra 函子如何与 De Concini-Procesi 紧化中的 Verdier 专门化相关联？

主要发现

• 具有平凡广义中心特征标的 Harish-Chandra 双模范畴的 Drinfeld 中心，与 G 上特征 D-模范畴之间存在自然等价。
• 通过截断卷积范畴，描述了给定胞腔中特征层卷积在更小胞腔模下的上同调。
• Harish-Chandra 函子被识别为从 G 上的 D-模到 De Concini-Procesi 紧化中 stratum 的 Punctured 正常丛上的 D-模的 Verdier 专门化函子。
• 特征 D-模范畴等价于范畴 Hecke 代数的 Drinfeld 中心，从而对 G(F_q) 的群代数中心进行了范畴化。
• 在一项温和的技术假设下，通过 Drinfeld 中心构造重新获得了 ℂ 上不可约单连通特征层的分类。
• 对于典范权 λ，D-模的整体截面的 λ-分次与其实现的专门化之间的典范映射是同构，此结论通过平移函子与局部化定理得到证明。