[论文解读] Characteristic random subgroups of geometric groups and free abelian groups of infinite rank

Lewis Bowen, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文对无限秩自由交换群和无限秩初等 $p$-群中的特征随机子群（CRS）进行分类，证明其存在 $2^{\aleph_0}$ 个连续遍历的特征随机子群。此外，本文还表明，非初等字面双曲群、双曲曲面的映射类群以及非交换自由群的外自同构群 $\mathrm{Out}(F_n)$（$n \geq 2$）也具有 $2^{\aleph_0}$ 个连续遍历的不变随机子群（IRS），其证明基于庞特里亚金对偶性及对偶群上的自同构不变测度。

ABSTRACT

We show that if $G$ is a non-elementary word hyperbolic group, mapping class group of a hyperbolic surface or the outer automorphism group of a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous ergodic invariant random subgroups. If $G$ is a nonabelian free group then $G$ has $2^{\aleph_0}$ many continuous $G$-ergodic characteristic random subgroups. We also provide a complete classification of characteristic random subgroups of free abelian groups of countably infinite rank and elementary $p$-groups of countably infinite rank.

研究动机与目标

• 对可数无限秩自由交换群和无限秩初等 $p$-群中的特征随机子群（CRS）进行分类。
• 证明在非初等字面双曲群、双曲曲面的映射类群以及 $n \geq 2$ 时的 $\mathrm{Out}(F_n)$ 中，存在 $2^{\aleph_0}$ 个连续遍历的不变随机子群（IRS）。
• 利用庞特里亚金对偶性及对偶群上的自同构不变测度，刻画几何群与阿贝尔群中的 CRS 与 IRS。

提出的方法

• 应用庞特里亚金对偶性，将阿贝尔群中 CRS 的分类转化为对偶群上不变测度的研究，特别是无限维环面 $\mathbb{T}^\mathbb{N}$ 上的测度。
• 利用弱*拓扑与闭子群空间 $\mathrm{Sub}(G)$ 上的恰巴蒂（Chabauty）拓扑，分析随机子群的收敛性与不变性。
• 通过傅里叶变换与轨道分解，刻画自由交换群 $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$ 的对偶群 $\hat{\mathcal{A}}$ 上的 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变测度。
• 利用任一 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变测度由其在有限秩子群 $\mathbb{Z}[1/r]/\mathbb{Z}$ 上的取值唯一确定的事实，导出其到遍历分量的分解。
• 应用 Choquet 理论，将任意 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变测度表示为集合 $\{\nu_r\}$ 上概率测度的重心，其中 $\nu_r$ 为遍历测度。
• 利用 $\hat{\mathcal{A}}$ 可分解为互不相交集合 $\hat{\mathcal{A}}'_r$ 的结构，证明 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变的遍历测度恰好为 $\nu_r$（$r \in \{1,2,\dots,\infty\}$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 可数无限秩自由交换群中的特征随机子群的完整分类是什么？
• RQ2 非初等字面双曲群及相关几何群中，存在多少个连续遍历的不变随机子群？
• RQ3 能否通过遍历分解完全描述自由交换群无限秩对偶群上 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变测度的空间？
• RQ4 庞特里亚金对偶性在将 CRS 的分类简化为对偶群上自同构不变测度研究的过程中起到何种作用？
• RQ5 在非阿贝尔几何群（如 $\mathrm{Out}(F_n)$ 或映射类群）中，是否存在不可数无穷多个连续遍历的 CRS？

主要发现

• 本文证明自由交换群 $\mathcal{A} = \oplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}$ 恰好存在 $2^{\aleph_0}$ 个连续遍历的特征随机子群，其对应于不可数多个遍历的 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变测度 $\nu_r$（$r \in \{1,2,\dots,\infty\}$）。
• 对任意非初等字面双曲群、双曲曲面的映射类群或 $n \geq 2$ 时的 $\mathrm{Out}(F_n)$，该群均存在 $2^{\aleph_0}$ 个连续遍历的不变随机子群。
• 在 $\hat{\mathcal{A}}$ 上，$\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变遍历测度的空间恰好为集合 $\{\nu_r \mid r \in \{1,2,\dots,\infty\}\}$，其中 $\nu_r$ 为 $({\mathbb{Z}}[1/r]/{\mathbb{Z}})^\mathbb{N}$ 上的哈尔测度。
• 任意 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变概率测度均为定义在集合 $\{\nu_r\}$ 上的概率测度的重心，其系数满足 $a_r = \nu(\hat{\mathcal{A}}'_r) \geq 0$。
• 对 $\mathcal{A}$ 中 CRS 的分类依赖于 $\hat{\mathcal{A}}$ 可分解为互不相交的 $\operatorname{Aut}(\hat{\mathcal{A}})$-不变集合 $\hat{\mathcal{A}}'_r$ 的事实，且 $\nu_r$ 在 $\hat{\mathcal{A}}_r$ 上有紧支集，满足 $\nu_r(\hat{\mathcal{A}}'_r) = 1$ 当且仅当 $r = s$，否则为 0。
• 本文通过类似的对偶性与测度论方法，建立了对无限秩初等 $p$-群中特征随机子群的完整分类，其结果与阿贝尔情形类似。