[论文解读] On rigid stabilizers and invariant random subgroups of groups of homeomorphisms

Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用 9

一句话总结

本文为可数群在豪斯多夫空间上作用时，建立了不变随机子群（IRSs）的广义双重交换子引理，表明遍历IRS几乎必然包含开集的刚性稳定化子的交换子群。作为应用，本文分类了康托极小 $Σ^d$-系统拓扑全群的遍历IRS，并证明了第一类格里戈里丘克群的每个IRS都是共软化，解决了文献中的一项问题。

ABSTRACT

A generalization of the double commutator lemma for normal subgroups is shown for invariant random subgroups of a countable group acting faithfully on a Hausdorff space. As an application, we classify ergodic invariant random subgroups of topological full groups of Cantor minimal $\mathbb{Z}^{d}$-systems. Another corollary is that for an ergodic invariant random subgroup of a branch group, a.e. subgroup $H$ must contain derived subgroups of certain rigid stabilizers. Such results can be applied towards classification of invariant random subgroups of Grigorchuk groups.

研究动机与目标

• 将经典双重交换子引理由正规子群推广至可数群在豪斯多夫空间上作用时的不变随机子群（IRSs）。
• 对康托极小 $Σ^d$-系统拓扑全群的遍历IRS进行分类。
• 证明第一类格里戈里丘克群的每个IRS都是共软化，解决Becker、Lubotzky与Thom（2019）文献中的一个问题。
• 建立分支群中IRS的结构性质，表明一个几乎处处的IRS包含某些刚性稳定化子的交换子群。

提出的方法

• 通过群在豪斯多夫空间上作用的拓扑与测度论论证，将经典双重交换子引理由正规子群推广至遍历IRS。
• 利用群胚芽的结构及其对称与交错全群，将推广后的引理由应用于康托极小 $Σ^d$-系统的拓扑全群。
• 使用布雷特利图技术与路径空间的渐近分析，研究测度的收敛性与IRS的支集。
• 采用乘积测度构造与弱-*极限，分析可约群中IRS的共软化性。
• 利用简单布雷特利图中连接的最小度随层级增长的性质，使计数论证中的比值收敛。
• 应用布雷特利图上不变测度理论的结果，并利用 $σ$-作用下 $X^{(k)}$ 上遍历测度的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将正规子群的双重交换子引理由推广至不变随机子群？
• RQ2 康托极小 $Σ^d$-系统拓扑全群中遍历IRS的结构是什么？
• RQ3 第一类格里戈里丘克群的所有IRS是否都是共软化？
• RQ4 在什么条件下，分支群的IRS会包含刚性稳定化子的交换子群？
• RQ5 在 $X^{(k)}$ 上的乘积测度如何与有限子集空间上 $σ$-不变遍历测度相关联？

主要发现

• 广义双重交换子引理对遍历IRS成立：一个几乎处处的IRS $H$ 包含某个非空开集 $U \subseteq X$ 的 $[R_G(U), R_G(U)]$。
• 对于康托极小 $Σ^d$-系统拓扑全群，所有遍历IRS都是通过映射 $(x_1,\dots,x_k) \mapsto \{x_1,\dots,x_k\}$ 从乘积测度拉回得到的。
• 第一类格里戈里丘克群的每个IRS都是共软化，确认了Becker、Lubotzky与Thom（2019）的猜想。
• 在分支群中，若 $R_G(U)$ 在 $U$ 中无不动点，则一个几乎处处的IRS $H$ 包含 $R_G(U)$ 的交换子群。
• 对于具有康托空间路径空间的简单布雷特利图，当 $n \to \infty$ 时，概率比值 $\mathbb{P}(K \cdot g \subseteq U) / \prod_{i=1}^k \mathbb{P}(z_i \cdot g \in U)$ 收敛于 1。
• 在 $X^{(k)}$ 上的 $σ$-不变遍历测度恰好是通过有限集映射从乘积测度 $\mu_1 \times \cdots \times \mu_k$ 拉回得到的，当且仅当 $\mu_i$ 是遍历的。