[论文解读] Cheeger Gromoll type metrics on the tangent bundle

Marian Ioan Munteanu|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Geometry and complex manifoldsMathematics参考文献 20被引用 19

一句话总结

本文在黎曼流形 $(M,g)$ 的切丛 $T(M)$ 上引入了一类单参数的黎曼度量 $g_a$，该度量推广了Cheeger-Gromoll度量，并为 $T(M)$ 配备了一个相容的几乎复结构 $J_a$，使其成为一个局部共形几乎凯勒流形。关键结果是：当且仅当 $a(t)$ 满足特定常微分方程时，$T(M)$ 配备 $g_a$ 才是凯勒流形；而平坦性恰好发生在 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1+\sqrt{1+2t})^2}$ 时，其中 $a_0$ 的选取使得 $a(0) = 1$，从而得到一个Cheeger-Gromoll型的平坦度量。

ABSTRACT

In this paper we study a Riemanian metric on the tangent bundle $T(M)$ of a Riemannian manifold $M$ which generalizes the Cheeger Gromoll metric and a compatible almost complex structure which together with the metric confers to $T(M)$ a structure of locally conformal almost Kählerian manifold. We found conditions under which $T(M)$ is almost Kählerian, locally conformal Kählerian or Kählerian or when $T(M)$ has constant sectional curvature or constant scalar curvature.

研究动机与目标

• 通过单参数度量族 $g_a$ 推广 $T(M)$ 上的Cheeger-Gromoll度量。
• 定义一个相容的几乎复结构 $J_a$，并研究 $T(M)$ 上由此产生的几乎殆凯勒结构。
• 确定 $(T(M), g_a, J_a)$ 为几乎凯勒流形、局部共形凯勒流形或凯勒流形的条件。
• 研究当 $T(M)$ 配备 $g_a$ 时，其具有常截面曲率或常数量曲率的条件。
• 通过求解关于 $a(t)$ 的常微分方程，推导出 $T(M)$ 上一个Cheeger-Gromoll型的平坦度量。

提出的方法

• 在 $T(M)$ 上定义一个单参数的黎曼度量族 $g_a$，通过函数 $a(t)$ 修改垂直部分度量，其中 $t = \frac{1}{2}g(\mathtt{u}, \mathtt{u})$，从而推广Cheeger-Gromoll度量。
• 利用 $M$ 上切向量的水平与垂直提升构造一个相容的几乎复结构 $J_a$，确保其与 $g_a$ 相容。
• 使用由 $T_pM$ 的标准正交基导出的 $T_{(p,\mathtt{u})}T(M)$ 上的正交标架 $\{E_i\}$ 计算截面曲率 $\tilde{K}^a$。
• 推导出截面曲率 $\tilde{K}^a(U,V)$ 的显式公式，其表达式涉及流形 $M$ 的曲率张量 $R$ 和函数 $a(t)$，包括水平、垂直及混合平面的分量。
• 以 $M$ 的数量曲率及涉及 $R_{e_i e_j} \mathtt{u}$ 的曲率收缩项表示 $(T(M), g_a)$ 的数量曲率 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$。
• 求解关于 $a(t)$ 的常微分方程：$\frac{a'(t)}{a(t)} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + 2t}}$，得到显式解 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$，当 $a_0$ 被归一化为 $a(0) = 1$ 时，该解给出平坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，流形 $(T(M), g_a, J_a)$ 是几乎凯勒流形、局部共形凯勒流形或凯勒流形？
• RQ2 $T(M)$ 配备度量 $g_a$ 是否可能具有常截面曲率？若可能，对 $a(t)$ 有何条件要求？
• RQ3 当 $M$ 为实空间形式时，对哪些函数 $a(t)$，$T(M)$ 配备 $g_a$ 具有常数量曲率？
• RQ4 是否存在非平凡的 $a(t)$ 使得 $(T(M), g_a)$ 是平坦的？
• RQ5 使 $T(M)$ 平坦的度量 $g_a$ 的显式形式是什么？对应的 $a(t)$ 是什么？

主要发现

• 只有当 $a(t)$ 满足特定常微分方程时，流形 $(T(M), g_a)$ 才是凯勒流形；且不存在使该结构成为凯勒流形的 $a(t)$，从而证明：$T(M)$ 上任何Cheeger-Gromoll型度量均无法诱导出凯勒流形。
• 当 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ 且 $a_0$ 被归一化为 $a(0) = 1$ 时，$T(M)$ 上存在一个Cheeger-Gromoll型的平坦度量，从而得到 $T(M)$ 上的平坦度量 $g_1$。
• $T(M)$ 配备 $g_a$ 的数量曲率 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$ 由 $M$ 的数量曲率、曲率收缩项 $|R_{e_i e_j} \mathtt{u}|^2$ 以及 $F_2(t)$、$F_3(t)$ 和 $a(t)$ 的项共同决定，其显式依赖于 $m = \dim M$。
• 当 $M$ 为具有常截面曲率 $c$ 的实空间形式时，$T(M)$ 配备 $g_a$ 具有常数量曲率的条件导出一个复杂的常微分方程，涉及 $a(t)$、$a'(t)$ 和 $a''(t)$，该方程无法用初等函数求解。
• $T(M)$ 配备 $g_a$ 的截面曲率 $\tilde{K}^a$ 已显式计算，其表达式依赖于 $M$ 的曲率张量，包含 $a(t)$、$R_{e_i e_j} \mathtt{u}$ 和 $R_{\mathtt{u} e_k} e_i$ 的分量，表明一般情况下曲率非恒定。
• 由 $a(t) = \frac{4e^{2(\sqrt{1+2t} - 1)}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ 定义的度量 $g_1$ 给出平坦的切丛 $T(M)$，从而证实了非平凡的Cheeger-Gromoll型平坦度量的存在性。