[论文解读] Chern classes of proalgebraic varieties and motivic measures

Shoji Yokura|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文通过定义拟构造函数与χ-稳定拟构造函数，将陈-施瓦茨-麦克弗森类推广至拟代数簇，将动机测度与积分推广至无限维情形。建立了在拟代数簇上进行动机积分的框架，包括纳什弧空间，并将拟解剖定义为奇点解剖序列的投射极限。

ABSTRACT

Michael Gromov has recently initiated what he calls ``symbolic algebraic geometry", in which objects are proalgebraic varieties: a proalgebraic variety is by definition the projective limit of a projective system of algebraic varieties. In this paper we construct Chern--Schwartz--MacPherson classes of proalgebraic varieties, by introducing the notion of ``proconstructible functions " and "$χ$-stable proconstructible functions" and using the Fulton-MacPherson's Bivariant Theory. As a "motivic" version of a $χ$-stable proconstructible function, $\Ga$-stable constructible functions are introduced. This construction naturally generalizes the so-called motivic measure and motivic integration. For the Nash arc space $\Cal L(X)$ of an algebraic variety $X$, the proconstructible set is equivalent to the so-called cylinder set or constructible set in the arc space.

研究动机与目标

• 为拟代数簇（即代数簇的投射极限）定义陈–施瓦茨–麦克弗森类。
• 通过拟构造函数将动机测度与动机积分推广至无限维情形。
• 引入χ-稳定与Γ-稳定拟构造函数的概念，作为在拟代数簇上进行动机积分的基础。
• 将拟解剖定义为某奇异簇的所有奇点解剖的投射极限。
• 研究纳什弧空间与奇异簇的拟解剖之间的关系。

提出的方法

• 将拟构造函数定义为在拟代数簇上取值、其纤维为逆极限中构造集的函数。
• 将χ-稳定拟构造函数定义为在极限下欧拉示性数有定义的函数。
• 应用富尔顿–麦克弗森的双不变理论，为拟代数簇构造陈–施瓦茨–麦克弗森类。
• 通过Γ-稳定拟构造函数引入动机积分，以代数簇的格罗滕迪克环作为积分的取值目标。
• 将奇异簇的拟解剖构造为所有奇点解剖的投射极限，其指标集为有向集。
• 利用态射的交换图定义纳什弧空间与拟解剖之间的典范映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为拟代数簇定义陈–施瓦茨–麦克弗森类？
• RQ2 χ-稳定拟构造函数在定义无限维簇上的动机测度中起什么作用？
• RQ3 是否存在从奇异簇的拟解剖到其纳什弧空间的典范态射？
• RQ4 如何通过Γ-稳定函数将动机积分推广至拟代数簇？
• RQ5 拟解剖能否被视为在拟代数簇范畴中的普遍解剖？

主要发现

• 通过χ-稳定拟构造函数，拟代数簇的陈–施瓦茨–麦克弗森类是良定义的，推广了经典理论。
• 如$X^{bN}$这样的拟代数簇的欧拉–庞加莱示性数为$\chi(X)$，将经典概念推广至无限乘积情形。
• 通过取值于格罗滕迪克环$K_0(\Cal{V}_{\bb{C}})$的Γ-稳定拟构造函数，定义了拟代数簇上的动机积分。
• 拟解剖$\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$被构造为所有奇点解剖的投射极限，形成一个有向系统。
• 纳什弧空间$\Cal{L}(X)$可赋予一个到拟解剖$\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$的典范态射，该态射与非光滑子簇相容。
• 该构造推广了动机测度，并为研究符号代数几何中的示性类提供了框架。