[论文解读] Chiral algebras of class $\mathcal{S}$ and Moore-Tachikawa symplectic varieties

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 24

一句话总结

本文通过 BRST 上同调，构建了任意复半单群 $G$ 的 genus zero Moore-Tachikawa 辛流形的函子性、手征性化量子化，确立了唯一一族简单、共形的顶点代数 $υ^{/mathcal{S}}_{G,b}$。这些顶点代数的关联流形被证明恰好是通过几何朗兰兹对偶构造的 $W^b_G$ 辛流形，从而为 $ frac{4d}{2d}$ 对偶性在 class $ frac{\mathcal{S}}$ 理论中的实现提供了数学实现。

ABSTRACT

We give a functorial construction of the genus zero chiral algebras of class $\mathcal{S}$, that is, the vertex algebras corresponding to the theory of class $\mathcal{S}$ associated with genus zero pointed Riemann surfaces via the 4d/2d duality discovered by Beem, Lemos, Liendo, Peelaers, Rastelli and van Rees in physics. We show that there is a unique family of vertex algebras satisfying the required conditions and show that they are all simple and conformal. In fact, our construction works for any complex semisimple group G that is not necessarily simply laced. Furthermore, we show that the associated varieties of these vertex algebras are exactly the genus zero Moore-Tachikawa symplectic varieties that have been recently constructed by Braverman, Finkelberg and Nakajima using the geometry of the affine Grassmannian for the Langlands dual group.

研究动机与目标

• 为任意复半单群 $G$（不一定是单连通的）提供 genus zero class $ frac{\mathcal{S}}$ 手征代数的函子性、数学上严格的构造。
• 通过手征量子矩映射，证明这些顶点代数是简单、共形的，并满足 $ frac{4d}{2d}$ 对偶性的公理。
• 证明所构造顶点代数的关联流形恰好是来自仿射格拉斯曼流形和几何萨特凯对应关系的 genus zero Moore-Tachikawa 辛流形 $W^b_G$。
• 通过相对半无限上同调验证顶点代数满足结合性条件，与物理上的 $ frac{4d}{2d}$ 对偶性结构一致。

提出的方法

• 将顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 构造为 BRST 复形的上同调，推广了 Ginzburg-Kazhdan 对仿射李代数的方法。
• 使用临界水平的普遍仿射顶点代数 $V^{\kappa_c}(\mathfrak{g})$ 和量子化 Drinfeld-Sokolov 归约 $H_{DS}^0$ 来定义顶点代数。
• 通过手征量子矩映射 $\bigotimes_{i=1}^b V^{\kappa_c}(\mathfrak{g}) \to \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 编码 $G^b$-对称性。
• 应用相对半无限上同调 $H^{\frac{\infty}{2}+\bullet}(\widehat{\mathfrak{g}}_{-\kappa_{\mathfrak{g}}}, \mathfrak{g}, \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b} \otimes \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b'})$ 来编码 $ frac{4d}{2d}$ 对偶性的结合性。
• 依赖于几何萨特凯对应关系以及朗兰兹对偶群 $\check{G}$ 的仿射格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}_{\check{G}}$ 的几何，来定义辛流形 $W^b_G$。
• 通过公理条件 (1) 和 (2) 验证唯一性，并利用可积最高权模 $\mathbb{V}_\lambda$ 和 Weyl 模计算特征标公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在唯一一族满足 genus zero class $ frac{\mathcal{S}}$ 理论的 $ frac{4d}{2d}$ 对偶性公理的顶点代数，即使 $G$ 不是单连通的？
• RQ2 所构造顶点代数的关联流形是否恰好是来自仿射格拉斯曼流形和几何萨特凯对应关系的 Moore-Tachikawa 辛流形 $W^b_G$？
• RQ3 手征量子矩映射以及通过相对半无限上同调实现的结合性条件，能否在函子性、上同调框架中实现？
• RQ4 顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 的显式特征标公式是什么？它如何反映 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\kappa_c}$ 的表示理论？
• RQ5 对于所有 $b \geq 1$ 和所有复半单群 $G$，顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 是否都是简单且共形的？

主要发现

• 顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 由公理 (1) 和 (2 唯一确定，其中 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,1} \cong H_{DS}^0(\mathcal{D}^{ch}_G)$ 且 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,2} \cong \mathcal{D}^{ch}_G$。
• 对于所有 $b \geq 1$ 和任意复半单群 $G$（包括非单连通群），顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 均为简单且共形的。
• 关联流形 $X_{\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}}$ 同构于通过仿射格拉斯曼流形和几何萨特凯对应关系构造的 Moore-Tachikawa 辛流形 $W^b_G$。
• 顶点代数 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$ 的中心荷由公式 $b\dim\mathfrak{g} - (b-2)\operatorname{rk}\mathfrak{g} - 24(b-2)(\rho|\rho^\vee)$ 给出，证实了共形不变性。
• 特征标公式（命题 10.5）将迹表达为 Weyl 模的乘积与分母公式幂的乘积，反映了其表示理论结构。
• 当 $G=SL_2$ 时，$\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_2,4} \cong L_{-4}(D_4)$，且 $X_{L_{-4}(D_4)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ 在 $D_4$ 中，与 $W^4_{SL_2} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ 一致。
• 当 $G=SL_3$ 时，$\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_3,3} \cong L_{-3}(E_6)$，且 $X_{L_{-3}(E_6)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ 在 $E_6$ 中，与 $W^3_{SL_3} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ 一致。