[论文解读] Chiral and Geometric Anomalies in Finite Systems

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文表明，在有限费米子系统中，由于与空间体积相关的拓扑障碍，会出现手征性和几何反常；除非将宇称对称性限制在 $\mathbb{Z}_{N+1}$，否则在有限晶格上无法一致地规范化 U(1) 局域对称性，而 $\mathbb{Z}_{2}$ 费米子宇称对称性则是手征性反常的最小实现。关键结果是基于晶格尺寸的几何反常诊断，与量子反常不同。

ABSTRACT

Dirac fermions coupled to gauge fields can exhibit the chiral anomaly even on a finite spatial lattice. A careful description of this phenomenon yields new insights into the nature of spin-charge relations and on-site symmetries (symmetries that are gauged by placing gauge fields on all links of the lattice). One notable result is that only sufficiently small symmetry groups can act on-site in a system with finitely many degrees of freedom. Symmetries that break this rule either cannot be gauged on an arbitrary lattice, or the gauging decouples the matter fields from gauge fields. These "anomalies" are not quantum in nature, and they are diagnosed geometrically, by the volume of the spatial manifold. The familiar particle number ${\mathrm U}(1)$ exhibits this kind of anomalous behavior in any finite fermion theory. The chiral anomaly in such a finite system instead manifests itself most simply after gauging the ${\mathbb Z}_2$ fermion parity.

研究动机与目标

• 澄清有限、非微扰晶格系统中手征性和几何反常的本质。
• 识别阻止在有限费米子系统中一致规范化 U(1) 局域对称性的几何约束。
• 证明仅 $\mathbb{Z}_{N+1}$ 局域对称性可在 $N$ 个格点的晶格上避免几何（准）反常。
• 建立 $\mathbb{Z}_{2}$ 规范场与旋量结构之间的联系，将反常与二维中的引力反常联系起来。
• 通过几何诊断反常，重新表述有限系统中的自旋-电荷关系。

提出的方法

• 分析具有二聚化狄拉克费米子的无自旋复费米子有限晶格模型，采用阶梯费米子构造。
• 采用非微扰、精确的晶格形式化，不依赖连续极限或有效场论。
• 通过全局一致性条件诊断反常，特别是单态约束 $\sum_v q(n_v) = 0$。
• 利用电荷密度的连续极限 $\rho(v) = \frac{1}{a}q(n_v)$ 来形式化几何障碍，将 $V/a$ 解释为拓扑不变量。
• 证明规范化费米子宇称（$\mathbb{Z}_2$）可在无 U(1) 规范场的情况下实现手征性反常。
• 将 $\mathbb{Z}_{2}$ 规范场解释为晶格旋量结构，将反常与二维中的引力反常联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖无限或连续极限的情况下，在显式有限的费米子系统中一致地定义手征性反常？
• RQ2 何种几何约束阻止了在有限晶格上规范化 U(1) 局域对称性？
• RQ3 为何 U(1) 粒子数对称性在有限系统中无法一致地规范化，晶格尺寸在此中起什么作用？
• RQ4 为何 $\mathbb{Z}_{2}$ 费米子宇称反常是有限系统中手征性反常的最小实现？
• RQ5 在晶格场论中，$\mathbb{Z}_{2}$ 规范场、旋量结构与引力反常之间存在何种联系？

主要发现

• 在具有 $N$ 个格点的有限晶格上，最大非反常局域 U(1) 对称性群为 $\mathbb{Z}_{N+1}$，其为最大非局域对称性。
• 任何作用于有限晶格上的局域 U(1) 对称性均具有几何（准）反常，即规范化会导致物质与规范场解耦或违反全局一致性条件。
• 单态约束 $\sum_v q(n_v) = 0$ 在连续极限下变为 $\int_0^V dv\, \rho(v) = 0$，当 $q(n_v) = 2n_v - 1$ 时，该积分仅在 $V/a$ 为偶数整数时一致。
• 在半满填充（$N^F = N/2$）时，约束 $\int \psi^\dagger \psi \, dv = \frac{1}{2} \frac{V}{a}$ 要求 $V/a$ 为偶数整数，从而诊断出几何反常。
• $\mathbb{Z}_2$ 手征性反常——通过规范化费米子宇称实现——是阿德勒-贝尔-贾基沃反常的晶格版本，同时也编码了二维中的引力反常。
• 非阿贝尔对称性如两个复费米子上的 U(2) 因其 U(1) 成分而具有几何反常，而 SU(2) 是允许的，表明 U(1) 成分仅在粗粒化后出现。