[论文解读] Chow rings and gonality of general abelian varieties

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过分析零循环在有理等价下的轨道，建立了非常一般阿贝尔簇的覆盖有理数的界。研究证明，对于维度 $ g \geq 2k-1 $ 的非常一般阿贝尔簇，轨道 $ |k\{0_A\}| $ 是可数的，这意味着此类簇不包含 $ k $-有理曲线，从而确认了有理数随维度增长。这支持了有理数增长类似于 $ \log g $ 的猜想，并在楚环上得到新结果，表明当 $ g \geq 2k-1 $ 时，对于 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $，$ D^k $ 不是挠率。

ABSTRACT

We study the (covering) gonality of abelian varieties and their orbits of zero-cycles for rational equivalence. We show that any orbit for rational equivalence of zero-cycles of degree $k$ has dimension at most $k-1$. Building on the work of Pirola, we show that very general abelian varieties of dimension $g$ have covering gonality $k\geq f(g)$ where $f(g)$ grows like ${ m log}\,g$. This answers a question asked by Bastianelli, De Poi, Ein, Lazarsfeld and B. Ullery. We also obtain results on the Chow ring of very general abelian varieties, eg. if $g\geq 2k-1$, for any divisor $D\in { m Pic}^0(A)$, $D^k$ is not a torsion cycle.

研究动机与目标

• 确定非常一般阿贝尔簇的覆盖有理数，并证明其随维度增长。
• 分析对称积 $ A^{(k)} $ 中度 $ k $ 零循环在有理等价下的轨道，特别是 $ |k\{0_A\}| $。
• 证明当 $ g \geq 2k-1 $ 时，轨道 $ |k\{0_A\}| $ 是可数的，意味着此类簇中不存在 $ k $-有理曲线。
• 研究非常一般阿贝尔簇的楚环结构，特别是 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $ 时 $ D^k $ 的非挠率性质。
• 为证明猜想 0.2 提供证据与策略，该猜想认为当 $ g \geq 2k-1 $ 时，有理数至少为 $ k+1 $。

提出的方法

• 使用零循环有理等价的理论，研究其在 $ A^{(k)} $ 中的轨道，证明任意此类轨道的维数至多为 $ k-1 $。
• 应用代数几何技术，包括广义库默尔簇 $ K_{k-1}(A) $，以在低维情形下限制轨道维数。
• 利用形变理论与求和映射 $ \sigma: A^{(k)} \to A $ 分析归一化轨道及其切空间。
• 借助 Pirola 关于一般维度 $ \geq 3 $ 的阿贝尔簇中不存在双曲曲线的结果，将其推广至更高有理数。
• 分析 $ A $ 中度 $ k $ 的正维归一化轨道的集合 $ Z_A \subset A $，并研究其维数以支持猜想 5.2。
• 利用有理等价下轨道为代数子簇的事实，并在 $ K_{k-1}(A) $ 上应用全纯 2-形式以约束各向同性子簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ g \to \infty $ 时，维度为 $ g $ 的非常一般阿贝尔簇的覆盖有理数是否趋于无穷？
• RQ2 当 $ g \geq 2k-1 $ 时，轨道 $ |k\{0_A\}| $ 是否可数，意味着该簇中不存在 $ k $-有理曲线？
• RQ3 度 $ k $ 的正维归一化轨道的集合 $ Z_A \subset A $ 是否维数至多为 $ k-1 $？
• RQ4 定理 0.1 中的界 $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ 是否可改进为 $ g \geq 2k-1 $？
• RQ5 当 $ g \geq 2k-1 $ 时，$ D^k $ 在 $ \mathrm{CH}^g(A) $ 中是否非挠率，对任意 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $？

主要发现

• 对任意阿贝尔簇 $ A $，在有理等价下，度 $ k $ 零循环的任意轨道 $ |Z| \subset A^{(k)} $ 的维数至多为 $ k-1 $。
• 若 $ A $ 是维度 $ g \geq 2^{k-2}(2k-1) + (2^{k-2}-1)(k-2) $ 的非常一般阿贝尔簇，则 $ A $ 不存在度 $ \leq k $ 的正维轨道，意味着覆盖有理数至少为 $ k+1 $。
• 当 $ g \geq 2k-1 $ 时，轨道 $ |k\{0_A\}| $ 是可数的，这意味着 $ A $ 不包含 $ k $-有理曲线。
• 当 $ g \geq 2k-1 $ 时，对任意 $ D \in \mathrm{Pic}^0(A) $，$ D^k $ 在 $ \mathrm{CH}^g(A) $ 中不是挠率循环，表明楚环中存在非平凡性。
• 轨道维数界 $ \leq k-1 $ 是最优的，因为椭圆曲线及其积 $ E \times B $ 实现了等号。
• 度 $ k $ 的正维归一化轨道集合 $ Z_A $ 预期维数至多为 $ k-1 $，且当 $ g \geq 2k-1 $ 时其为空集将意味着猜想 0.2 成立。