[论文解读] Classical and Quantum Gravity on Conformal Superspace

Julian Barbour, Niall Ó Murchadha|ArXiv.org|Nov 19, 1999

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用 22

一句话总结

该论文提出了一种基于共形超空间的引力新理论，其中配置空间被限制为共形重标度和坐标变换下的三维几何。通过构建一个共形不变的雅可比型作用量并使用最佳匹配程序，该理论在共形超空间中产生测地线解，这些解与爱因斯坦在最大时间切片下的真空解高度一致，解决了规范量子化中的关键问题，如负能量模态和时间性缺失问题。

ABSTRACT

The four-dimensional gauge group of general relativity corresponds to arbitrary coordinate transformations on a four-manifold. Theories of gravity with a dynamical structure remarkably like Einstein's theory can be obtained on the basis of a four-dimensional gauge group of arbitrary coordinate and conformal transformations of riemannian metrics defined on a three-manifold. This new symmetry is more restrictive and hence more predictive. Many of the difficulties that have plagued the canonical quantization of general relativity seem to vanish.

研究动机与目标

• 将广义相对论重新表述为一种具有受限共形不变性的理论，聚焦于共形超空间作为配置空间。
• 通过构建正定超度量，解决规范量子引力中长期存在的问题，如负能量模态和时间性问题。
• 证明在该共形引力框架下，当以最大时间切片表示时，解与真空爱因斯坦解完全一致。
• 表明标准规范量子化程序可导出一个时间无关、正定的惠勒-德维特方程，且不包含非物理模态。

提出的方法

• 将共形超空间（CS）定义为模去共形重标度和微分同胚变换的三维几何空间，其中受限共形超空间（CS*）保持总体积不变。
• 通过包含共形卡林形式和共形因子φ的动能项T，构建一种雅可比型公式的作用量，确保在重标度下不变。
• 在邻近度量之间实施最佳匹配程序，对微分同胚和共形变换同时最小化，其中共形因子φ和标量θ控制重标度。
• 从作用量推导出哈密顿量和约束，表明能量范数方程在渐近平坦时空下退化为最大时间切片条件。
• 使用可调参数A的修正超度量，在保持共形不变性的同时推广BSW作用量，并确保作用量的尺度不变性。
• 对共形理论实施规范量子化，得到一个时间无关、正定的惠勒-德维特方程，该方程同时尊重微分同胚和共形不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在共形超空间上构建一个引力理论，使其在最大时间切片下重现爱因斯坦的真空方程？
• RQ2 共形不变作用量是否能导致一致的规范量子化，而不会出现负能量模态或时间性缺失问题？
• RQ3 共形重标度和受限体积保持的引入如何影响理论的动力学和约束？
• RQ4 共形因子φ和标量θ在实现推广BSW方法的最佳匹配程序中起什么作用？
• RQ5 在所提出的共形引力框架下，标准爱因斯坦方程在最大规范下是否可精确恢复为共形超空间中的测地线？

主要发现

• 当共形因子φ设为1时，共形不变作用量在最大时间切片下精确重现了真空爱因斯坦解，表明该理论在该规范下与广义相对论完全一致。
• 在渐近平坦时空下，能量范数方程退化为最大时间切片方程 ∇²√(T/R) − √(T/R)R = 0，证实了该理论在该极限下与标准广义相对论的一致性。
• 从作用量导出的哈密顿量包含三个约束（微分同胚、共形和迹约束），当移除体积分母后，其结构与标准广义相对论哈密顿量完全相同。
• 规范量子化导出一个时间无关、正定的惠勒-德维特方程，消除了标准方法中存在的问题模态。
• 该理论由于非共形不变的动能项而表现出复杂的规范群，但这并不影响其一致性或物理可预测性。
• 引入宇宙学常数或共形不变物质场是直接的，可通过修改标量曲率项或引入共形物质耦合来推广作用量。