[论文解读] Classical Computers Very Likely Can Not Efficiently Simulate Multimode Linear Optical Interferometers with Arbitrary Fock-State Inputs-An Elementary Argument

Bryan Gard, R. Cross+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Quantum Information and Cryptography被引用 1

一句话总结

本文提出一个基本的量子光学论证，表明经典计算机无法高效模拟具有任意 Fock 态输入的多模线性光学干涉仪。通过分析希尔伯特空间维数的指数增长，并将模拟难度与计算大矩阵永久值的计算不可行性联系起来，该研究确立了玻色子干涉仪在经典计算上本质上难以模拟。

ABSTRACT

Aaronson and Arkhipov recently used computational complexity theory to argue that classical computers very likely cannot efficiently simulate linear, multimode, quantum-optical interferometers with arbitrary Fock-state inputs [Aaronson and Arkhipov, Theory Comput. 9, 143 (2013)]. Here we present an elementary argument that utilizes only techniques from quantum optics. We explicitly construct the Hilbert space for such an interferometer and show that its dimension scales exponentially with all the physical resources. We also show in a simple example just how the Schrodinger and Heisenberg pictures of quantum theory, while mathematically equivalent, are not in general computationally equivalent. Finally, we conclude our argument by comparing the symmetry requirements of multiparticle bosonic to fermionic interferometers and, using simple physical reasoning, connect the nonsimulatability of the bosonic device to the complexity of computing the permanent of a large matrix.

研究动机与目标

• 通过基本的量子光学技术，证明具有任意 Fock 态输入的多模线性光学干涉仪的经典模拟在计算上不可行。
• 构建此类干涉仪的希尔伯特空间，并展示其维数随物理资源的增加呈指数增长。
• 在多体量子系统背景下，阐明薛定谔绘景与海森堡绘景之间的计算非等价性。
• 通过物理推理，将玻色子干涉仪的不可模拟性与矩阵永久值计算的复杂性联系起来。

提出的方法

• 显式构建具有 Fock 态输入的多模线性光学干涉仪的希尔伯特空间，表明其维数随模式数和光子数的增加呈指数增长。
• 使用二次量子化形式描述薛定谔绘景中的态演化，强调态向量的指数增长。
• 比较薛定谔绘景与海森堡绘景，突出二者在模拟多体量子系统时计算需求的差异。
• 分析玻色子与费米子干涉仪中多体态的对称性性质，强调交换统计的作用。
• 通过输出概率振幅的类似哈夫尼亚恩（Hafnian）结构，将矩阵的永久值与玻色子干涉仪中的跃迁振幅联系起来。
• 利用物理直觉论证：计算永久值（已知为 #P-难）是经典计算难以模拟这些装置的根本原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典计算机能否高效模拟具有任意 Fock 态输入的多模线性光学干涉仪？
• RQ2 为何在模拟多体量子系统时，薛定谔绘景与海森堡绘景会产生不同的计算复杂度？
• RQ3 希尔伯特空间维数的指数增长如何与模拟的计算复杂度相关联？
• RQ4 玻色子干涉仪与矩阵永久值之间联系的物理根源是什么？
• RQ5 为何在此背景下，费米子干涉仪的计算需求低于其玻色子对应物？

主要发现

• 具有 Fock 态输入的多模线性光学干涉仪的希尔伯特空间维数随模式数和光子数的增加呈指数增长，导致经典模拟不可行。
• 尽管在数学上等价，薛定谔绘景与海森堡绘景在多体量子系统背景下并非计算等价，原因在于其态表示方式不同。
• 玻色子干涉仪中的跃迁振幅与由干涉仪单位变换构造的矩阵的永久值成正比。
• 计算永久值的计算困难性（已知为 #P-难）直接意味着此类干涉仪的经典模拟在计算上是不可行的。
• 由于玻色子态的对称性及其导致的永久值结构，玻色子干涉仪在本质上比费米子干涉仪更难模拟。
• 通过物理推理将永久值与干涉仪输出概率联系起来，为经典计算机无法模拟这些装置提供了直接且基本的论证。