[论文解读] Classical Dynamics from Self-Consistency Equations in Quantum Mechanics -- Extended Version

J. -B. Bru, W. de Siqueira Pedra|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 92被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于 $C_0$-半群的新型框架，用于玻那的非线性量子力学，通过自洽方程从量子过程推导出经典动力学。该框架在 $C^*$-代数上关于自伴弱*连续泛函的多项式函数上建立了泊松括号，表明在态空间上的对称导子生成 $C_0$-收缩群，从而将经典与量子动力学统一于单一数学结构之中。

ABSTRACT

During the last three decades, P. Bóna has developed a non-linear generalization of quantum mechanics, based on symplectic structures for normal states and offering a general setting which is convenient to study the emergence of macroscopic classical dynamics from microscopic quantum processes. We propose here a new mathematical approach to Bona's one, with much brother domain of applicability. It highlights the central role of self-consistency. This leads to a mathematical framework in which the classical and quantum worlds are naturally entangled. We build a Poisson bracket for the polynomial functions on the hermitian weak$^{\ast }$ continuous functionals on any $C^{\ast }$-algebra. This is reminiscent of a well-known construction for finite-dimensional Lie algebras. We then restrict this Poisson bracket to states of this $C^{\ast }$-algebra, by taking quotients with respect to Poisson ideals. This leads to densely defined symmetric derivations on the commutative $C^{\ast }$-algebras of real-valued functions on the set of states. Up to a closure, these are proven to generate $C_{0}$-groups of contractions. As a matter of fact, in general commutative $C^{\ast }$-algebras, even the closableness of unbounded symmetric derivations is a non-trivial issue. Some new mathematical concepts are introduced, which are possibly interesting by themselves: the convex weak $^{\ast }$ Gâteaux derivative, state-dependent $C^{\ast }$-dynamical systems and the weak$^{\ast }$-Hausdorff hypertopology, a new hypertopology used to prove, among other things, that convex weak$^{\ast }$-compact sets generically have weak$^{\ast }$-dense extreme boundary in infinite dimension. Our recent results on macroscopic dynamical properties of lattice-fermion and quantum-spin systems with long-range, or mean-field, interactions corroborate the relevance of the general approach we present here.

研究动机与目标

• 为玻那的非线性量子力学构建一个超越原始限制性设定的数学上严格的框架。
• 在不依赖于 $\hbar \to 0$ 极限的前提下，阐明经典动力学如何从量子过程中涌现。
• 确立自洽性在单一 $C^*$-代数结构中统一经典与量子动力学的作用。
• 解决在交换 $C^*$-代数（实值函数在态空间上的代数）中无界对称导子的闭包这一非平凡问题。
• 引入新的拓扑工具——如弱*–豪斯多夫超拓扑——以分析无限维空间中凸弱*紧集的性质。

提出的方法

• 使用 $C_0$-半群理论，对 $C^*$-代数上自伴弱*连续泛函空间上的多项式函数形式化泊松括号。
• 通过模去泊松理想，定义态空间上实值连续函数的交换 $C^*$-代数上的对称导子。
• 证明这些导子即使在无限维情形（此时闭包性非平凡）也能生成 $C_0$-收缩群。
• 引入凸弱* Gâteaux导数作为分析依赖于态的 $C^*$-代数动力学的关键工具。
• 发展弱*–豪斯多夫超拓扑，以研究无限维空间中弱*紧凸集的极端点的典型性。
• 通过将量子动力学与演化态相关联，构建依赖于态的 $C^*$-动力系统，从而在不变子空间上约化得到经典演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $C_0$-半群理论形式化量子力学中的自洽方程，以生成经典动力学？
• RQ2 在 $C^*$-代数上的泛函上，泊松括号在连接量子与经典动力学中起什么作用？
• RQ3 在态空间上的交换 $C^*$-代数（实值函数代数）中，无界对称导子在何种条件下是闭的，何时能生成 $C_0$-群？
• RQ4 弱*–豪斯多夫超拓扑如何用于刻画无限维凸弱*紧集中极端点的典型密度？
• RQ5 依赖于态的 $C^*$-动力系统以何种方式导致一致的经典演化定律？

主要发现

• 通过 $C_0$-半群理论，在 $C^*$-代数上自伴弱*连续泛函的多项式函数上构造了泊松括号，将玻那的框架推广至更广泛的 $C^*$-代数类。
• 证明了在态空间上实值函数的交换 $C^*$-代数上的对称导子即使在无限维情形下也能生成 $C_0$-收缩群。
• 引入凸弱* Gâteaux导数作为定义依赖于态的动力学和分析量子系统中自洽性的关键工具。
• 证明弱*–豪斯多夫超拓扑是分析超空间中收敛性与典型性的有效工具，表明无限维空间中凸弱*紧集的极端边界通常是弱*稠密的。
• 对于反极小 $C^*$-代数（在量子自旋和格点费米子系统中常见），态的集合具有弱*稠密的极端点集，支持从量子平均场系统中涌现经典动力学。
• 该框架证实，通过自洽演化，宏观经典动力学可从微观量子过程中涌现，这一结论得到最近关于格罗斯–皮塔耶夫斯基和哈特ree级联结果的支持。