[论文解读] Closedness of convex sets in Orlicz spaces with applications to dual representation of risk measures

Niushan Gao, Denny H. Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用 16

一句话总结

该论文证明，在Orlicz空间 $L^\Phi$ 中，若至少有一个共轭Orlicz函数 $\Phi$ 或 $\Psi$ 满足 $\Delta_2$-条件，则凸集的序闭性（几乎必然收敛下闭）与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭性等价。关键贡献在于：当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，存在具有Fatou性质的 coherent 风险度量，其无法通过双对 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 实现Fenchel-Moreau对偶表示，从而解决了金融数学中长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Let $(\\Phi,\\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\\Phi$, order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$; that is, a convex set is $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ are equivalent if and only if either $\\Phi$ or $\\Psi$ satisfies the $\\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \\emph{If (and only if) $\\Phi$ and $\\Psi$ both fail the $\\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\\Phi, L^\\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\\Phi,H^\\Psi)$.

研究动机与目标

• 解决关于在Orlicz空间 $L^\Phi$ 中，凸集的序闭性是否蕴含 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭性的开放问题。
• 刻画Krein-Smulian定理在拓扑 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下成立的条件，将其与Orlicz函数的 $\Delta_2$-条件联系起来。
• 研究对偶表示在Orlicz空间与Orlicz心脏空间中对coherent风险度量的影响。
• 证明当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，存在具有Fatou性质但无法实现Fenchel-Moreau对偶表示的coherent风险度量。

提出的方法

• 使用Banach函数空间中的对偶理论，特别是Orlicz空间 $L^\Phi$ 及其对偶空间 $L^\Psi$ 之间的配对。
• 在 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-拓扑背景下应用Krein-Smulian定理，以刻画凸集的闭性。
• 采用序列分析与控制收敛技术，研究 $L^\Phi$ 和 $H^\Phi$ 中的序闭性，重点分析几乎必然收敛的范数有界序列。
• 通过在 $H^\Phi$ 中构造随机变量序列的显式反例，证明当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，$\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-闭性不蕴含序闭性。
• 通过在 $c_0$ 与 $\ell^1$ 中分析坐标收敛与范数收敛的结构，验证元素是否属于凸集，以分析对偶对中的表示集结构。
• 利用Fenchel-Moreau对偶定理，关联风险度量的下确界连续性与对偶表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种Orlicz函数 $\Phi$ 与 $\Psi$ 条件下，$L^\Phi$ 中凸集的序闭性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭性等价？
• RQ2 Krein-Smulian定理对拓扑 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 成立的充要条件是否为 $\Phi$ 或 $\Psi$ 中至少一个满足 $\Delta_2$-条件？
• RQ3 是否存在一个在 $L^\Phi$ 上的coherent风险度量，具有Fatou性质但无法通过双对 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 实现对偶表示？
• RQ4 与 $\Delta_2$-条件之间存在何种关系，以确保Orlicz空间中风险度量的对偶表示存在？
• RQ5 当 $\Phi$ 与 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，是否意味着存在一个具有Fatou性质但缺乏对偶表示的coherent风险度量？

主要发现

• 在 $L^\Phi$ 中，凸集的序闭性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭性等价，当且仅当 $\Phi$ 或 $\Psi$ 中至少一个满足 $\Delta_2$-条件。
• 对于 $L^\Phi$ 中的范数有界凸集，序闭性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭性等价，当且仅当Krein-Smulian定理对 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 成立。
• 当 $\Phi$ 与 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，存在一个在 $L^\Phi$ 上的coherent风险度量，满足Fatou性质但无法通过双对 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 实现Fenchel-Moreau对偶表示。
• 在Orlicz心脏空间设定中也出现类似对偶表示失效：若 $\Phi$ 与 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件，则存在一个在 $H^\Phi$ 上的coherent风险度量，具有Fatou性质但无法通过 $(H^\Phi, H^\Psi)$ 实现对偶表示。
• 证明构造了一个序列 $X_{sr}$ 属于 $H^\Phi$，在 $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-拓扑下收敛于 $-W_0$，而 $-W_0$ 不属于原始凸集 $\mathcal{C}$，从而证明 $\mathcal{C}$ 不是 $\sigma(H^\Phi, H^\Psi)$-闭的。
• 该构造依赖于 $c_0$ 与 $\ell^1$ 中的坐标收敛、$H^\Phi$ 中的范数有界性，以及投影算子 $\mathcal{P}_j$ 对对偶空间中序列行为的控制。