[论文解读] Cluster realizations of Weyl groups and higher Teichmüller theory

Rei Inoue, Tsukasa Ishibashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文为对称化 Kac-Moody 李代数 $ \mathfrak{g} $ 构造了一类加权 quiver $ Q_m(\mathfrak{g}) $，其簇模群包含 Weyl 群 $ W(\mathfrak{g}) $ 作为子群。文章给出了 Weyl 群生成元的显式簇变换，为有限型 $ \mathfrak{g} $ 建立了绿色序列和簇 Donaldson-Thomas 变换，并证明对于经典有限型 $ \mathfrak{g} $，其 Coxeter 数为 $ h $，quiver $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 与一个编码了具有 $ 2k $ 个边界标记点的单极点圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的 quiver 之间存在突变等价性，从而在高阶 Teichmüller 空间上诱导出与 [GS18] 中几何构造一致的 Weyl 群作用。

ABSTRACT

For a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra $\mathfrak{g}$, we construct a family of weighted quivers $Q_m(\mathfrak{g})$ ($m \geq 2$) whose cluster modular group $Γ_{Q_m(\mathfrak{g})}$ contains the Weyl group $W(\mathfrak{g})$ as a subgroup. We compute explicit formulae for the corresponding cluster $\mathcal{A}$- and $\mathcal{X}$-transformations. As a result, we obtain green sequences and the cluster Donaldson-Thomas transformation for $Q_m(\mathfrak{g})$ in a systematic way when $\mathfrak{g}$ is of finite type. Moreover if $\mathfrak{g}$ is of classical finite type with the Coxeter number $h$, the quiver $Q_{kh}(\mathfrak{g})$ ($k \geq 1$) is mutation-equivalent to a quiver encoding the cluster structure of the higher Teichmüller space of a once-punctured disk with $2k$ marked points on the boundary, up to frozen vertices. This correspondence induces the action of direct products of Weyl groups on the higher Teichmüller space of a general marked surface. We finally prove that this action coincides with the one constructed in [GS18] from the geometrical viewpoint.

研究动机与目标

• 为对称化 Kac-Moody 李代数 $ \mathfrak{g} $ 的 Weyl 群 $ W(\mathfrak{g}) $ 构造一个簇模群的子群，该子群由所构造的 quiver $ Q_m(\mathfrak{g}) $ 生成。
• 系统地计算对应于 Weyl 群生成元的显式簇变换，并为有限型 $ \mathfrak{g} $ 构造绿色序列和簇 Donaldson-Thomas 变换。
• 建立 $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 与编码了具有 $ 2k $ 个边界标记点的单极点圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的 quiver 之间的突变等价性。
• 证明通过簇结构诱导的 Weyl 群作用在高阶 Teichmüller 空间上与 [GS18] 中构造的几何作用一致。

提出的方法

• 为每个 $ m \geq 2 $ 定义一个基于与 $ \mathfrak{g} $ 相关的 Coxeter quiver $ Q(\mathfrak{g}) $ 的加权 quiver $ Q_m(\mathfrak{g}) $。
• 在簇模群 $ \Gamma_{Q_m(\mathfrak{g})} $ 中构造显式突变序列 $ R(s) $，以实现每个 Coxeter 生成元 $ r_s \in W(\mathfrak{g}) $ 的作用。
• 通过 $ R(s) $ 在热带 $ \mathcal{X} $-空间的一个子集上的作用，证明其在根格 $ L(\mathfrak{g}) $ 上提升为 Weyl 群作用。
• 证明当 $ \mathfrak{g} $ 为有限型时，对于约化字 $ w = r_{s_1} \cdots r_{s_k} $，突变序列 $ R(w) $ 构成 $ Q_m(\mathfrak{g}) $ 的绿色序列。
• 建立 $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 与编码了具有 $ 2k $ 个边界标记点的单极点圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的 quiver 之间的突变等价性（至多相差冻结顶点）。
• 通过显式比较簇坐标和单值性，证明在高阶 Teichmüller 空间上诱导的 Weyl 群作用与 [GS18] 中的几何作用一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对称化 Kac-Moody 代数 $ \mathfrak{g} $ 的 Weyl 群 $ W(\mathfrak{g}) $ 实现为簇代数的簇模群的子群？
• RQ2 如何构造显式的簇变换以实现 Weyl 群生成元在相关簇流形上的作用？
• RQ3 对于有限型 $ \mathfrak{g} $，对应于 $ W(\mathfrak{g}) $ 中约化解的突变序列是否构成绿色序列并产生良定义的簇 Donaldson-Thomas 变换？
• RQ4 是否存在 $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 与编码了具有 $ 2k $ 个边界标记点的单极点圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的 quiver 之间的突变等价性？
• RQ5 通过簇结构在高阶 Teichmüller 空间上诱导的 Weyl 群作用是否与 [GS18] 中定义的几何作用一致？

主要发现

• 存在一个单射群同态 $ \phi_m: W(\mathfrak{g}) \to P_{|Q_m(\mathfrak{g})|} $，其中 $ P_{|Q_m(\mathfrak{g})|} $ 是簇模群中保持在全息映射下辛叶的正规子群。
• Weyl 群 $ W(\mathfrak{g}) $ 通过一个 $ W(\mathfrak{g}) $-等变嵌入作用于根格 $ L(\mathfrak{g}) $，该嵌入取值于单式 Poisson Casimir 代数 $ Z(\mathcal{X}_{|Q_m(\mathfrak{g})|}) $。
• 对于 $ W(\mathfrak{g}) $ 中的任意约化解 $ w = r_{s_1} \cdots r_{s_k} $，当 $ \mathfrak{g} $ 为有限型时，突变序列 $ R(w) = R(s_1) \cdots R(s_k) $ 构成 $ Q_m(\mathfrak{g}) $ 的绿色序列。
• 簇 Donaldson-Thomas 变换对于 $ Q_m(\mathfrak{g}) $ 由 $ \sigma \circ R $ 给出，其中 $ \sigma $ 是标准簇变换，$ R $ 是对应于最长元约化解的突变组合。
• 对于经典有限型 $ \mathfrak{g} $，其 Coxeter 数为 $ h $，quiver $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 与编码了具有 $ 2k $ 个边界标记点的单极点圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的 quiver 之间存在突变等价性（至多相差冻结顶点）。
• 通过 $ Q_{kh}(\mathfrak{g}) $ 上的簇结构在高阶 Teichmüller 空间上诱导的 Weyl 群作用与 [GS18] 中构造的几何作用一致，从而确认了代数实现与几何实现之间的一致性。