[论文解读] Cobordism maps in link Floer homology and the reduced Khovanov TQFT

András Juhász, Marco Marengon|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文通過cobordism映射建立了鏈Floer同調與簡化Khovanov同調之間的聯繫，表明這些映射誘導出一個(1+1)-維TQFT，該TQFT能從分解的立方體重現簡化Khovanov同調的複形。此外，本文還構造了一個從簡化Khovanov同調出發的譜序列，該譜序列是帶標記鏈的不變量。

ABSTRACT

We compute the maps induced on link Floer homology by certain elementary decorated link cobordisms. We show that they give rise to a (1+1)-dimensional TQFT that, when applied to the cube of resolutions of a marked knot diagram, gives the complex defining the reduced Khovanov homology of the knot. Finally, we define a spectral sequence from (reduced) Khovanov homology using these cobordism maps, and we prove that it is an invariant of the (marked) link.

研究动机与目标

• 理解由初等帶標記鏈cobordism誘導的鏈Floer同調上的映射。
• 證明這些映射能構成一個(1+1)-維拓撲量子場理論(TQFT)。
• 證明將此TQFT作用於帶標記結圖的分解立方體時，能恢復定義簡化Khovanov同調的複形。
• 利用這些cobordism映射從簡化Khovanov同調構造一個譜序列。
• 證明所得譜序列是帶標記鏈的不變量。

提出的方法

• 作者計算了初等帶標記鏈cobordism在鏈Floer同調上的作用。
• 他們證明誘導出的映射滿足(1+1)-維TQFT的公理。
• 他們將此TQFT作用於帶標記結圖的分解立方體，將其映射到簡化Khovanov同調的鏈複形。
• 他們定義了一個譜序列，其E1頁為簡化Khovanov同調，並使用cobordism誘導的映射作為微分。
• 他們證明譜序列在同倫不變與保持標記結構的移動下保持不變。
• 他們利用函子性與cobordism不變性，確立了譜序列的不變性。

实验结果

研究问题

• RQ1 初等帶標記鏈cobordism在鏈Floer同調上如何作用？
• RQ2 鏈Floer同調上誘導出的映射能否構成一個(1+1)-維TQFT？
• RQ3 將TQFT作用於帶標記結圖的分解立方體是否能恢復簡化Khovanov同調的複形？
• RQ4 能否利用這些cobordism映射從簡化Khovanov同調構造一個譜序列？
• RQ5 所得譜序列是否是帶標記鏈的不變量？

主要发现

• 由初等cobordism誘導的鏈Floer同調上的映射構成了一個(1+1)-維TQFT。
• 將此TQFT作用於帶標記結圖的分解立方體，能重現簡化Khovanov同調的鏈複形。
• cobordism映射定義了一個譜序列，其E1頁為簡化Khovanov同調。
• 譜序列收斂到一個在同倫與保持標記結構的鏈移動下不變的同調理論。
• 譜序列是帶標記鏈的不變量，且與圖或分解的選擇無關。