[论文解读] Cocenter of $p$-adic groups, II: induction map

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文構造了 $p$-進群的 Hecke 代數的余中心上 Newton 分量之間的誘導映射，證明其為滿射，且與 Jacquet 請求函子相伴。在特徵零下，該映射被證明為同構，從而導出余中心的 Bernstein-Lusztig 型表示，並確立與 Newton 分解的相容性。

ABSTRACT

In this paper, we study some relation between the cocenter $\bar H(G)$ of the Hecke algebra $H(G)$ of a connected reductive group $G$ over an nonarchimedean local field and the cocenter $\bar H(M)$ of its Levi subgroups $M$. Given any Newton component of $\bar H(G)$, we construct the induction map $\bar i$ from the corresponding Newton component of $\bar H(M)$ to it. We show that this map is surjective. This leads to the Bernstein-Lusztig type presentation of the cocenter $\bar H(G)$, which generalizes the work \cite{HN2} on the affine Hecke algebras. We also show that the map $\bar i$ we constructed is adjoint to the Jacquet functor and in characteristic $0$, the map $\bar i$ is an isomorphism.

研究动机与目标

• 定義並研究從李群子群 $M$ 的余中心到半單 $p$-進群 $G$ 的余中心的誘導映射 $\bar{i}_{M,R}$，使其與 Newton 分解相容。
• 建立該映射在表示層次上與 Jacquet 請求函子相伴，推廣已知的特徵零結果。
• 證明該映射在 $\mathbb{Z}[1/p]$ 上保持整數結構，從而適用於模 $l$ 表示理論。
• 證明在特徵零下，該映射為同構，推廣仿射 Hecke 代數的 Bernstein-Lusztig 表示。
• 證明 Newton 分解與誘導映射相容，確保結構在李群子群間保持不變。

提出的方法

• 利用 Newton 分解 $\bar{H}(G) = \oplus \bar{H}(v)$（其中 $v$ 為支配的有理共權）在 Newton 分量上構造誘導映射 $\bar{i}_{v}: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$。
• 使用 Bushnell 對 $P_v$-正元素的構造，以及單射代數同態 $j_{v,\mathcal{K}}: H^v(M,\mathcal{K}_M) \to H(G,\mathcal{K})$，在 Hecke 代數層次定義該映射。
• 透過商映射 $\bar{H}(G) = H(G)/[H(G), H(G)]$ 將映射提升至余中心，確保與跡映射及 Jacquet 請求函子相容。
• 應用 Mackey 公式，並分析在字符空間 $\Psi(M)_R$ 上的代數函數的正部分，以關聯 $G$ 和 $M$ 上的跡。
• 利用 $\mathbb{C}$ 上的譜密度定理，證明若 $\bar{i}_v(f)$ 在所有誘導表示上的跡為零，則 $f$ 屬於 $M$ 上跡映射的核，從而證明滿射性。
• 在特徵零下，利用 $\mathbb{C}$ 上的譜密度定理與余中心在 $\mathbb{Z}[1/p]$ 上的自由性，證明映射 $\bar{i}_\nu$ 為單射。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一個定義良好的誘導映射 $\bar{i}_{M,R}$ 從李群子群 $M$ 的余中心到 $G$ 的余中心，且與 Newton 分解相容？
• RQ2 能否在係數為 $\mathbb{Z}[1/p]$ 的整數形式 $\bar{H}(G)$ 上構造該誘導映射，並保持模 $l$ 表示理論中的結構？
• RQ3 該誘導映射是否在余中心層次上與 Jacquet 請求函子相伴？
• RQ4 在特徵零下，映射 $\bar{i}_{M,R}$ 是否成為同構？
• RQ5 Newton 分解是否與誘導映射相容，即 $\bar{i}_v$ 是否將 $\bar{H}(M;v)$ 映入 $\bar{H}(\bar{v})$？

主要发现

• 對任意李群子群 $M$ 與 Newton 分量 $v$，誘導映射 $\bar{i}_v: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$ 為滿射。
• 映射 $\bar{i}_v$ 與 Jacquet 請求函子 $r_{M,R}$ 相伴，即對所有 $\pi \in \mathfrak{R}(G)_R$，有 $\mathrm{Tr}^G(\bar{i}_v(f), \pi) = \mathrm{Tr}^M(f, r_{M,R}(\pi))$。
• 在特徵零下，映射 $\bar{i}_\nu: \bar{H}(M;\nu) \xrightarrow{\cong} \bar{H}(\bar{\nu})$ 為同構，確立了一個強大的結構結果。
• 在 $\bar{H}(G)_R$ 上，跡映射的核分解為 $\bigoplus_{v \in V_+} (\ker \mathrm{Tr}^G_R \cap \bar{H}_R(v))$，顯示與 Newton 分量的相容性。
• $\bar{i}_v$ 滿足 $\bar{i}_v^{-1}(\ker \mathrm{Tr}^G_R \mid_{\bar{H}_R(\bar{v})}) = \ker \mathrm{Tr}^M_R \mid_{\bar{H}_R(M;v)}$，確認與跡映射核的相容性。
• 該構造保持在 $\mathbb{Z}[1/p]$ 上的整數結構，從而適用於模 $l$ 表示，並推廣了特徵零以外的結果。