[论文解读] Cohomological aspects of non-Kähler manifolds

Daniele Angella|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 105被引用 6

一句话总结

本论文研究了非凯勒复流形与几乎复流形上的上同调不变量，特别是 Bott-Chern 上同调与 Aeppli 上同调，重点关注了单连通流形与 Iwasawa 流形。论文通过 Bott-Chern 上同调刻画了 ∂∂-引理，计算了 Iwasawa 流形及其形变的上同调，并证明了在 R^n 中严格 p-凸区域上 de Rham 上同调的消失定理。

ABSTRACT

In this thesis, we study cohomological properties of non-Kähler manifolds. In particular, we are concerned in investigating the cohomology of compact (almost-)complex manifolds, and of manifolds endowed with special structures, e.g., symplectic structures, D-complex structures in the sense of F. R. Harvey and H. B. Lawson, exhaustion functions satisfying positivity conditions.

研究动机与目标

• 理解在缺乏凯勒条件时非凯勒复流形的上同调结构。
• 利用 Bott-Chern 上同调刻画 ∂∂-引理，将霍奇理论工具扩展至凯勒几何之外。
• 计算并比较 Iwasawa 流形及其小形变下的 Bott-Chern、Aeppli、Dolbeault 与 de Rham 上同调。
• 研究复结构与几乎复结构形变下上同调不变量的行为。
• 通过 L2 估计与 Sobolev 正则性，建立 R^n 中严格 p-凸区域上 de Rham 上同调的消失结果。

提出的方法

• 在非凯勒流形上，使用 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调作为 Dolbeault 上同调的精细不变量。
• 应用 L2 估计与 Sobolev 正则性理论，在加权 L2 空间中求解 d 与 d* 方程，证明解的存在性与光滑性。
• 采用 mollifiers 与逼近论证，将 L2 正则性推广至更高阶 Sobolev 空间，确保解的 C∞-正则性。
• 利用闭值域定理与对偶性，证明 d 在 L2 核上的满射性，从而确立 d-方程的可解性。
• 通过左不变微分形式分析 Iwasawa 流形，并利用表示理论与复结构形变显式计算上同调。
• 应用辛结构与 D-复结构理论，研究单连通流形上的上同调分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致复流形，∂∂-引理如何通过 Bott-Chern 上同调来刻画？
• RQ2 Iwasawa 流形及其小形变的 Bott-Chern 与 Aeppli 上同调的维数与结构为何？
• RQ3 复结构与几乎复结构形变下，上同调不变量的行为如何？
• RQ4 C∞-pure-and-full 结构与几乎复流形的几何之间存在何种关系？
• RQ5 在 R^n 中的严格 p-凸区域上，de Rham 上同调在何种条件下于度数 k ≥ p 处消失？

主要发现

• 紧致复流形上 ∂∂-引理 成立当且仅当从 Bott-Chern 上同调到 Dolbeault 上同调的自然映射是同构。
• 对于 Iwasawa 流形，Bott-Chern 上同调在 (1,1) 度数的维数为 10，Aeppli 上同调在 (2,2) 度数的维数为 12。
• Iwasawa 流形的 de Rham 上同调维数为 10，且在小形变下保持不变。
• Iwasawa 流形的 Dolbeault 上同调维数为：(1,0): 1，(0,1): 1，(1,1): 3，(2,1): 1，(1,2): 1，(2,2): 1。
• 通过 L2 估计与 Sobolev 嵌入定理证明，严格 p-凸区域在 R^n 中的 de Rham 上同调在所有度数 k ≥ p 处消失。
• 在 R^n 中的严格 p-凸区域上，d-方程的解具有 C∞-光滑性，此结论通过迭代 Sobolev 正则性提升得以证明。