[论文解读] Cohomological Hall algebras and perverse coherent sheaves on toric Calabi-Yau 3-folds

Miroslav Rapčák, Yan Soibelman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 66被引用 14

一句话总结

本文通過構造COHA的Drinfeld雙代數並證明其透過提升與降低算子作用於層的模空間，建立了上同調霍爾代數（COHA）與 торิก Calabi-Yau 3-流形上 perverse coherent sheaves 之間的聯繫。主要貢獻在於提出一個猜想：此作用可透過由幾何結構導出的根系統所對應的移位楊代數實現，其中移位由3-流形中的交點數量決定。

ABSTRACT

We study the Drinfeld double of the (equivariant spherical) Cohomological Hall algebra in the sense of Kontsevich and Soibelman, associated to a smooth toric Calabi-Yau 3-fold $X$. By general reasons, the COHA acts on the cohomology of the moduli spaces of certain perverse coherent systems on $X$ via "raising operators". Conjecturally the COHA action extends to an action of the Drinfeld double by adding the "lowering operators". In this paper, we show that the Drinfeld double is a generalization of the notion of the Cartan doubled Yangian defined earlier by Finkelberg and others. We extend this "$3d$ Calabi-Yau perspective" on the Lie theory furthermore by associating a root system to certain families of $X$. We formulate a conjecture that the above-mentioned action of the Drinfeld double factors through a shifted Yangian of the root system. The shift is explicitly determined by the moduli problem and the choice of stability conditions, and is expressed explicitly in terms of an intersection number in $X$. We check the conjectures in several examples, including a special case of an earlier conjecture of Costello.

研究动机与目标

• 透過構造降低算子，將COHA在perverse coherent sheaves模空間上的作用擴展至其Drinfeld雙代數。
• 利用toric Calabi-Yau 3-流形的幾何數據，將Cartan雙重楊代數的概念推廣至3D Calabi-Yau環境。
• 為toric Calabi-Yau 3-流形族建立一個根系統，並提出一個猜想：Drinfeld雙代數的作用可透過此根系統的移位楊代數實現。
• 在關鍵例子（包括解析的雙cone與C^3）中驗證該猜想，並與Costello早期關於移位楊代數的猜想建立聯繫。
• 透過交點數量與穩定性條件，在模問題中幾何實現移位楊代數。

提出的方法

• 構造由光滑toric Calabi-Yau 3-流形X導出的帶勢能的quiver所對應的（等變球面）COHA的Drinfeld雙代數。
• 利用由解析f:X→Y誘導的D^b(Coh(X))上的t-結構，將COHA定義為某生成元的自同態代數。
• 透過X上perverse coherent系統模空間的上同調上的卷積作用定義提升算子。
• 引入降低算子以完成Drinfeld雙代數結構，其猜想可將COHA作用推廣至類似楊代數的完整代數。
• 以X中的交點數量明確表達移位楊代數中的移位參數，使其與穩定性條件及模問題相聯繫。
• 在臨界上同調中應用Jeffreys-Kirwan留數公式，計算上推映射，並驗證Drinfeld雙代數在固定點上的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 Drinfeld雙代數在toric Calabi-Yau 3-流形上perverse coherent sheaves模空間的上同調上如何作用？
• RQ2 Drinfeld雙代數能否被實現為與3-流形幾何自然相關的根系統的移位楊代數？
• RQ3 移位楊代數中的移位參數的幾何來源為何？其如何由X中的交點數量決定？
• RQ4 在C^3與解析雙cone的情形下，Drinfeld雙代數的作用是否可透過gl(1)的移位楊代數實現？
• RQ5 穩定性條件與t-結構的選擇如何影響所得楊代數的結構及其表示理論？

主要发现

• toric Calabi-Yau 3-流形上COHA的Drinfeld雙代數透過提升與降低算子作用於perverse coherent sheaves模空間的上同調。
• Drinfeld雙代數推廣了Cartan雙重楊代數的構造，將其延伸至3D Calabi-Yau環境。
• 提出一個猜想：Drinfeld雙代數的作用可透過由toric 3-流形導出的根系統的移位楊代數實現，其中移位由X中的交點數量決定。
• 在C^3的情形下，透過點的Hilbert譜面實現gl(1)的移位楊代數，並在上同調中驗證了楊代數的關係。
• 對於解析雙cone，計算了COHA在PT模空間上的作用，並利用等變上同調與留數公式分析了固定點。
• 在臨界上同調中應用留數上推公式以計算Drinfeld雙代數的作用，結果以固定點分支上的留數和表示，從而在關鍵例子中確認了猜想。