[论文解读] Cohomology and Deformations of left-symmetric Rinehart Algebras

Abdelkader Ben Hassine, Taoufik Chtioui+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文引入了左对称Rinehart代数作为左对称代数与李-Rinehart代数的推广，建立了其上同调理论与形变理论。构造了一个分次李代数，其Maurer-Cartan元分类了左对称Rinehart代数，并证明形变由第二上同调类控制。该研究进一步关联了$ϴ$-算子与Nijenhuis算子，证明了通过可逆映射的复合，相容的$ϴ$-算子可由Nijenhuis算子导出。

ABSTRACT

We introduce a notion of left-symmetric Rinehart algebras, which is a generalization of a left-symmetric algebras. The left multiplication gives rise to a representation of the corresponding sub-adjacent Lie-Rinehart algebra. We construct left-symmetric Rinehart algebra from O-operators on Lie-Rinehart algebra. We extensively investigate representations of a left-symmetric Rinehart algebras. Moreover, we study deformations of left-symmetric Rinehart algebras, which is controlled by the second cohomology class in the deformation cohomology. We also give the relationships between O-operators and Nijenhuis operators on left-symmetric Rinehart algebras.

研究动机与目标

• 通过引入一种新的代数结构——左对称Rinehart代数，推广左对称代数与李-Rinehart代数。
• 为左对称Rinehart代数发展上同调理论，并研究其表示。
• 构造一个分次李代数，其Maurer-Cartan元刻画左对称Rinehart代数结构。
• 建立左对称Rinehart代数的形变理论，其形变由第二上同调类控制。
• 在这一新的代数框架下，探讨$ϴ$-算子与Nijenhuis算子之间的关系。

提出的方法

• 将左对称Rinehart代数定义为左对称代数的推广，其上配备一个与结合代数$A$相容的作用。
• 通过左乘法的交换子构造其伴随的李-Rinehart代数。
• 定义左对称Rinehart代数的表示，并通过余边界算子发展其上同调。
• 在多重导子空间上构造一个分次李代数，其Maurer-Cartan元对应左对称Rinehart代数结构。
• 定义形式形变，并证明第二上同调类控制形变延拓的障碍。
• 引入Nijenhuis算子，并确立其在生成平凡形变中的作用，通过与可逆映射的复合，将其与相容的$ϴ$-算子关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将左对称代数推广以包含一个结合代数$A$的作用，从而形成一类新的代数？
• RQ2 左对称Rinehart代数的上同调理论是什么？它如何与它们的表示相关？
• RQ3 如何构造一个分次李代数，使得其Maurer-Cartan元能分类左对称Rinehart代数结构？
• RQ4 第二上同调类在控制左对称Rinehart代数形变中起什么作用？
• RQ5 在左对称Rinehart代数的语境下，$ϴ$-算子与Nijenhuis算子之间有何关系？

主要发现

• 左对称Rinehart代数中的左乘法诱导出其伴随李-Rinehart代数的一个表示。
• 左对称Rinehart代数可通过在李-Rinehart代数上对$ϴ$-算子进行特定代数构造而构建。
• 在多重导子空间上构造了一个分次李代数，其Maurer-Cartan元精确刻画了左对称Rinehart代数结构。
• 左对称Rinehart代数的形变由形变上同调复形中的第二上同调类控制。
• 左对称Rinehart代数上的Nijenhuis算子$N$诱导出一个平凡形变；若$T_1$与$T_2$是相容的$ϴ$-算子且$T_2$可逆，则$N = T_1 mid T_2^{-1}$为Nijenhuis算子。
• 若$T$为$ϴ$-算子，$N$为可逆的Nijenhuis算子，且$NT$亦为$ϴ$-算子，则$T$与$NT$相容，从而在两者之间建立了直接联系。