[论文解读] Cohomology for almost Lie algebroids

Melchior Grützmann, Xiaomeng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过超几何中的Q-结构，为几乎李代数胚（generalizations of Lie algebroids that relax the Jacobi identity）引入了一种上同调理论。该上同调理论在几乎李代数情形下为平凡，但在正则几乎李代数胚情形下为非平凡，其计算结果为余切映射像的李代数胚上同调，并通过预-Courant代数胚中的Dirac结构扩展至奇异可积分布。

ABSTRACT

We give numerous examples of almost Lie algebroids arising as Dirac structures in pre-Courant algebroids, e.g. from twisted Poisson structures, as well as from twisted actions of a Lie algebra. We moreover define a cohomology for them, motivated by a Q-structure, that is trivial for (bundles of) Lie algebras but characterizes the underlying integrable distribution the image of the anchor map.

研究动机与目标

• 为几乎李代数胚发展一种上同调理论，其为李代数胚的推广，且放松了雅克比恒等式。
• 通过上同调不变量刻画余切映射像为可积分布。
• 通过预-Courant代数胚中的Dirac结构，将上同调工具扩展至奇异但可积的分布。
• 提供一种几何的、非超几何形式的上同调表述，避免依赖完整的超流形形式体系。
• 通过AKSZ构造建立上同调与拓扑场论之间的联系。

提出的方法

• 通过反对称括号、余切映射和莱布尼茨法则定义几乎李代数胚，但不强制要求满足雅克比恒等式。
• 引入雅克比器（Jacobiator）作为括号不满足雅克比恒等式的度量，并证明其在外协变导数下为闭。
• 通过超函数上的Q-结构构造上同调复形，限制于光滑几何以增强可及性。
• 在复形 $ C^ullet(A, ho) $ 上定义微分 $ D $，并以余切映射和括号的显式公式表示。
• 利用上同调计算正则几乎李代数胚情形下余切映射像的李代数胚上同调。
• 将上同调与切触丛情形下的德拉姆上同调联系起来，并通过Dirac结构与扭曲泊松结构建立关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为几乎李代数胚定义一种上同调理论，以捕捉余切映射像的可积性？
• RQ2 几乎李代数胚的上同调如何与底层分布的李代数胚上同调相关联？
• RQ3 雅克比器在几乎李代数胚的上同调结构中起何作用？
• RQ4 该上同调能否用于定义由Dirac结构产生的奇异但可积分布的不变量？
• RQ5 支撑上同调的Q-结构是否允许通过AKSZ形式体系构造拓扑场论？

主要发现

• 几乎李代数胚的雅克比器在外协变导数下为闭，验证了上同调框架的合理性。
• 几乎李代数的上同调为平凡，但非零余切映射的几乎李代数胚上同调为非平凡。
• 在切丛 $ TM $ 情形下，上同调同构于德拉姆上同调。
• 对于正则几乎李代数胚，上同调计算了余切映射像的李代数胚上同调。
• 当作为余切映射的像实现时，该上同调为奇异但可积分布的上同调提供了一个候选定义。
• 该构造与AKSZ构造相容，暗示其在拓扑场论中的应用潜力。