[论文解读] Pre-Courant Algebroids and Associated Lie 2-Algebras

Zhangju Liu, Yunhe Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文证明了预-Courant代数胚的雅可比子（Jacobiator）赋予其Leibniz 2-代数与李2-代数结构，且这些结构在形变下保持稳定。本文引入了庞特里亚金类（Pontryagin class）作为将预-Courant代数胚形变为Courant代数胚的障碍，并通过扭曲李代数作用构造了新例子，包括来自抛物几何（parabolic geometry）的情形。

ABSTRACT

In this paper, we show that the Jacobiator of a pre-Courant algebroid has some remarkable properties. Thus we can construct both Leibniz 2-algebra and Lie 2-algebra structures associated to a pre-Courant algebroid and prove that these algebraic structures are stable under deformations. The Pontryagin class is also introduced for a pre-Courant algebroid as the obstruction to be deformed into a Courant algebroid. Finally, we introduce the twisted action of a Lie algebra on a manifold to give more examples of pre-Courant algebroids, which include the parabolic geometry.

研究动机与目标

• 研究预-Courant代数胚背后的代数结构。
• 确定预-Courant代数胚可形变为Courant代数胚的条件。
• 通过李代数的扭曲作用引入一类新的预-Courant代数胚。
• 定义并分析作为形变为Courant代数胚障碍不变量的庞特里亚金类。

提出的方法

• 分析预-Courant代数胚的雅可比子，以提取高阶代数结构。
• 从雅可比子的性质中构造Leibniz 2-代数与李2-代数结构。
• 证明这些代数结构在小扰动下的形变不变性。
• 将庞特里亚金类引入为将预-Courant代数胚形变为Courant代数胚的上同调障碍。
• 定义李代数在流形上的扭曲作用，以生成预-Courant代数胚的新例子。
• 将该框架应用于抛物几何，表明其可被纳入所构造的例子类中。

实验结果

研究问题

• RQ1 预-Courant代数胚的代数结构如何与高阶李代数相关联？
• RQ2 在何种条件下，诱导出的李2-代数与Leibniz 2-代数结构在形变下保持稳定？
• RQ3 将预-Courant代数胚形变为Courant代数胚的上同调障碍是什么？
• RQ4 如何通过李代数在流形上的扭曲作用生成预-Courant代数胚？
• RQ5 抛物几何时如何作为该构造中的特例出现？

主要发现

• 预-Courant代数胚的雅可比子自然诱导出Leibniz 2-代数与李2-代数结构。
• 这些诱导出的代数结构在预-Courant代数胚的小形变下保持不变。
• 庞特里亚金类被识别为阻止预-Courant代数胚形变为Courant代数胚的障碍类。
• 李代数在流形上的扭曲作用为预-Courant代数胚提供了一种系统化的构造方法。
• 抛物几何被证明是通过扭曲作用构造的预-Courant代数胚类中的自然几何实现。