[论文解读] Cohomology jump loci of compact Kähler manifolds

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文将复紧凯勒流形上表示簇与向量丛模空间的上同调跳跃点理论从平凡表示推广至非平凡表示。通过引入微分分次李代数（DGLA）模，证明了在局部范围内，上同调跳跃点的解析芽通过指数映射同构于共振簇，推广了Dimca-Papadima的早期结果，并为这些簇在任意半单表示处的几何结构提供了新的局部约束。

ABSTRACT

We apply the method of Dimca-Papadima to study the cohomology jump loci in the representation variety and the moduli space of vector bundles with vanishing chern classes for a compact Kähler manifold. We introduce modules over differential graded Lie algebra to extend results of Dimca-Papadima to a general point in the representation variety or the moduli space. We show that locally the cohomology jump loci is isomorphic to the resonance variety via the exponential map. This paper generalizes a previous result of the author.

研究动机与目标

• 将复紧凯勒流形上表示簇中上同调跳跃点的研究从平凡表示扩展至更一般情形。
• 通过微分分次李代数（DGLA）及其模，建立变形理论框架，以控制上同调跳跃点的局部结构。
• 在任意半单表示处，通过指数映射建立上同调跳跃点与共振簇之间的局部同构。
• 通过这些簇的结构，为复紧凯勒流形的基本群提供新的几何与上同调约束。

提出的方法

• 引入一个由DGLA及其模构成的DGLA对，其中DGLA控制表示簇的形变，模控制上同调群的形变。
• 使用流形的de Rham复形以及扭复形 $\Omega^{\bullet}_{\textrm{DR}}(L_\rho)$ 和 $\operatorname{End}^\bullet(L_\rho)$ 来建模在表示 $\rho$ 处的局部几何。
• 定义在基点处的提升映射的核 $\mathcal{E}nd^{\bullet}_0(L_\rho)$，以捕捉局部形变数据。
• 应用Goldman-Millson定理，证明表示簇 $\mathbf{R}(X,n)$ 局部同构于 $H^1(X, \operatorname{End}(L_\rho))$ 中的一个二次锥 $C$。
• 建立表示簇在 $\rho$ 处的形式概形与DGLA模型中平坦联络的形式概形之间的同构。
• 利用指数映射，将上同调跳跃点的局部结构与DGLA设定下的共振簇联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复紧凯勒流形的表示簇中，非平凡表示处的上同调跳跃点的局部结构应如何描述？
• RQ2 微分分次李代数及其模在控制局部系统及其上同调的形变理论中起什么作用？
• RQ3 在半单表示处，上同调跳跃点在多大程度上通过指数映射与共振簇相似？
• RQ4 在Betti模空间中的绝对构造子集的局部几何是否可在指数映射下表征为锥？
• RQ5 这些局部同构对复紧凯勒流形的基本群施加了何种约束？

主要发现

• 在任意半单表示 $\rho$ 处，表示簇 $\mathbf{R}(X,n)$ 的解析芽同构于 $H^1(X, \operatorname{End}(L_\rho))$ 中的一个二次锥，推广了Goldman-Millson的结果。
• 上同调跳跃点 $\mathcal{V}^i_r(X,n)$ 局部同构于共振簇，通过指数映射实现，将Dimca-Papadima框架从平凡表示推广至更一般情形。
• 对于不可约表示 $\rho$，$\mathcal{M}_{\textrm{B}}(X,n)$ 在 $\rho$ 处的局部结构同构于一个形式锥 $C_{(0)}$，且每个上同调跳跃点对应于该空间中的一个锥。
• 根据推论5.1，$\rho$ 处的上同调跳跃点为局部二次奇点，该结果适用于平坦丛的模空间。
• 结果表明，Betti模空间中闭的绝对构造子集应在指数映射下为局部锥形，推广了Simpson关于子环面的扭平移结果。
• 当 $n=1$ 时，与共振簇的局部同构意味着上同调跳跃点为子环面的扭平移的并集，通过新方法恢复了已知结果。