[论文解读] Cohomology Jumping Loci and Relative Malcev Completion

Anthony Narkawicz|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文引入了超平面排列补集基本群的相对Malcev完备化，统一了幂零完备化与局部系统上的上同调。它证明了相对Malcev完备化由上同调群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 和 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 控制，并证明对于一般表示，相关谱序列在 $ E_\infty $ 退化，意味着完备化由局部系统的上同调数据决定。

ABSTRACT

Two standard invariants used to study the fundamental group G of the complement X of a hyperplane arrangement are the Malcev completion of G and the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. In this paper, we develop a tool that unifies these two approaches. This tool is the Malcev completion S_p of G relative to a homomorphism p from G into (C^*)^N. This is a prosolvable group that is tightly controlled by the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. The prounipotent radical U_p of the relative completion S_p corresponds to a pronilpotent Lie algebra u_p. We provide an example of a hyperplane complement X for which this algebra is not quadratically presented. In addition, we show that if X is a hyperplane complement and Y is a subtorus of the character torus, then S_p is combinatorially determined for general p in Y. Finally, we show that the relative completion S_p is generally constant over subvarieties of the character torus.

研究动机与目标

• 统一超平面排列补集的两个标准不变量：基本群的Malcev完备化与局部系统上的上同调。
• 定义并研究 $ \pi_1(X,x_0) $ 关于表示 $ \boldsymbol{\rho} \to (\mathbb{C}^*)^N $ 的相对Malcev完备化，推广标准Malcev完备化。
• 证明相对Malcev完备化由上同调群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 和 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 控制，其中 $ \mathbb{V}_\alpha $ 为秩一局部系统。
• 建立一般表示下的谱序列退化结果，意味着完备化由上同调数据决定。
• 通过 $ \mathcal{O}(Y) $-模的诺特性论证，证明对于一般 $ \boldsymbol{\rho} $，相对完备化的Eilenberg-Moore谱序列在 $ E_\infty $ 退化。

提出的方法

• 将相对Malcev完备化 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $ 定义为概代数群扩张 $ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $，其中 $ D_{\boldsymbol{\rho}} $ 是 $ \boldsymbol{\rho}(\pi_1(X,x_0)) $ 在 $ (\mathbb{C}^*)^N $ 中的扎里斯基闭包。
• 使用有理同伦论，从cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) = \bigoplus_{\alpha \in D_{\boldsymbol{\rho}}^\vee} E^\bullet(X, \mathbb{V}_\alpha) \otimes V_\alpha^* $ 构造幂零李代数 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $。
• 建立 $ D_{\boldsymbol{\rho}} $-等变同构：$ \prod_{\alpha} H^1(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \cong H_1(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $ 及满射 $ \prod_{\alpha} H^2(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \twoheadrightarrow H_2(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $。
• 为 $ \mathcal{O}(Y) $ 上的约化巴尔构造构造Eilenberg-Moore谱序列 $ E_n(Y) $，其中 $ E_1^{-s,t}(Y) = [H^+(X, \mathcal{O}_Y)^{\otimes s}]^t \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathcal{O}(D_Y) $。
• 证明 $ E_n(Y) $ 是可数生成的 $ \mathcal{O}(Y) $-模复形，并利用定理9.14通过诺特性将同构从 $ E_1 $ 提升至 $ E_\infty $。
• 证明对于一般 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $，典范映射 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $ 是同构，利用像的稠密性与上同调基变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将超平面排列补集基本群的Malcev完备化推广至包含映射到 $ (\mathbb{C}^*)^N $ 的表示？
• RQ2 上同调群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 与 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 与相对Malcev完备化结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，相对完备化的Eilenberg-Moore谱序列在 $ E_\infty $ 退化？
• RQ4 当基变换到子簇 $ Y \subset (\mathbb{C}^*)^N $ 中的一般点 $ \boldsymbol{\rho} $ 时，相对Malcev完备化如何表现？
• RQ5 相对Malcev完备化在多大程度上由局部系统的上同调决定，且在何时为二次呈现？

主要发现

• 相对Malcev完备化 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $ 是概代数群扩张 $ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $，且在所有此类提升 $ \boldsymbol{\rho} $ 的扩张中具有 universality。
• 幂零李代数 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $ 由cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $ 构造，其同调通过 $ D_{\boldsymbol{\rho}} $-等变映射受控于 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 与 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $。
• 对于一般 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $，典范映射 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $ 是同构，意味着谱序列在 $ E_\infty $ 退化。
• Eilenberg-Moore谱序列 $ E_n(Y) $ 是可数生成的 $ \mathcal{O}(Y) $-模复形，此性质使得可通过定理9.14归纳地将同构从 $ E_1 $ 提升至 $ E_\infty $。
• 当 $ \boldsymbol{\rho} $ 在 $ G_Y $ 中扎里斯基稠密时，上同调基变换 $ H^\bullet(X, \mathcal{O}_Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to H^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $ 是同构，确保了上同调数据的一致性。
• 相对Malcev完备化一般不是1-形式的，文中通过反例表明，Massey乘积可能在不确定度下不为零。