[论文解读] Cohomology of weighted Rota-Baxter Lie algebras and Rota-Baxter paired operators

Apurba Das|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文为加权Rota-Baxter李代数及Rota-Baxter配对算子引入了上同调理论，统一了李代数结构与Rota-Baxter算子的形变。它构造了一个微分 graded 李代数，其Maurer-Cartan元分类了Rota-Baxter配对算子，并表明上同调控制形式的单参数形变，其中第二上同调群分类了阿贝尔扩张并度量了刚性。

ABSTRACT

In this paper, we define representations and cohomology of weighted Rota-Baxter Lie algebras. As applications of cohomology, we study abelian extensions and formal $1$-parameter deformations weighted Rota-Baxter Lie algebras. Finally, we consider weighted Rota-Baxter paired operators that induces a weighted Rota-Baxter Lie algebra and a representation of it. We define suitable cohomology for such paired operators that govern deformation.

研究动机与目标

• 为加权Rota-Baxter李代数在表示中的上同调理论提供定义。
• 将此上同调应用于分类加权Rota-Baxter李代数的阿贝尔扩张与形式单参数形变。
• 引入Rota-Baxter配对算子，其同时诱导出加权Rota-Baxter李代数与相容表示。
• 构造一个微分 graded 李代数，其Maurer-Cartan元对应于Rota-Baxter配对算子，且其上同调控制其形变。

提出的方法

• 利用底层李代数与Rota-Baxter算子定义加权Rota-Baxter李代数的表示，其中相容性条件涉及权λ。
• 将上同调复形构造为标准Chevalley-Eilenberg上同调与Rota-Baxter算子上同调的直和，其微分结合了两部分。
• 在上同调空间上引入微分 graded 李代数结构，其括号为Schouten括号，微分形式为 d_T = d + [T, ·]，其中T为Rota-Baxter配对算子。
• 证明Rota-Baxter配对算子T满足Maurer-Cartan方程 d_T + ½[T, T] = 0，使其成为graded李代数中的Maurer-Cartan元。
• 证明此类算子的形变对应于上同调复形中的Maurer-Cartan元，其中无穷小形变位于度数1，障碍位于度数2。
• 建立第二上同调群对加权Rota-Baxter李代数的阿贝尔扩张的同构类进行分类，并确定结构的刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为加权Rota-Baxter李代数在表示中的上同调理论提供定义，其与底层李代数及Rota-Baxter算子上同调的关系如何？
• RQ2 此上同调如何控制加权Rota-Baxter李代数的阿贝尔扩张与形式单参数形变？
• RQ3 Rota-Baxter配对算子在同时定义加权Rota-Baxter李代数与相容表示中起什么作用？
• RQ4 如何利用微分 graded 李代数结构形式化Rota-Baxter配对算子的形变理论？
• RQ5 在加权Rota-Baxter李代数的背景下，刚性与等价的上同调刻画是什么？

主要发现

• 加权Rota-Baxter李代数在表示中的上同调被构造为Chevalley-Eilenberg上同调与Rota-Baxter算子上同调的直和，其微分结合了两部分。
• 第二上同调群对加权Rota-Baxter李代数的阿贝尔扩张的同构类进行分类。
• 李代数与Rota-Baxter算子的形式单参数形变由同一上同调控制，其中无穷小形变位于度数2，障碍位于度数3。
• 加权Rota-Baxter李代数刚性的充分条件是其第二上同调群为零。
• Rota-Baxter配对算子(T, S)被表征为微分 graded 李代数中的Maurer-Cartan元，其中微分为 d_T = d + [T, ·]，括号为Schouten括号。
• Rota-Baxter配对算子的上同调控制形式形变，其中第一上同调群捕捉无穷小形变，第二上同调群度量障碍。