[论文解读] Coleman-Gross height pairings and the $p$-adic sigma function

Jennifer S. Balakrishnan, Amnon Besser|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过使用切向量将Coleman-Gross配对扩展至非不相交的除子，建立了Mazur-Tate与Coleman-Gross在椭圆曲线上$p$-进高度配对之间的直接联系。证明了当使用来自不变微分的典范切向量计算$p$-进局部高度时，其结果等于$p$-进sigma函数的对数，从而统一了两种$p$-进高度的构造。该结果给出了Kim关于整点定理的新且简化的证明，并给出了从切向基点出发的双重Coleman积分的公式。

ABSTRACT

We give a direct proof that the Mazur-Tate and Coleman-Gross heights on elliptic curves coincide. The main ingredient is to extend the Coleman-Gross height to the case of divisors with non-disjoint support and, doing some $p$-adic analysis, show that, in particular, its component above $p$ gives, in the special case of an ordinary elliptic curve, the $p$-adic sigma function. We use this result to give a short proof of a theorem of Kim characterizing integral points on elliptic curves in some cases under weaker assumptions. As a further application, we give new formulas to compute double Coleman integrals from tangential basepoints.

研究动机与目标

• 建立Mazur-Tate与Coleman-Gross在椭圆曲线上$p$-进高度配对之间的直接比较。
• 通过在公共点处赋予切向量，将Coleman-Gross高度配对扩展至具有非不相交支集的除子。
• 证明：当使用来自不变微分的典范切向量时，$p$-进局部高度等于$p$-进sigma函数的对数。
• 将此识别应用于给出Kim关于椭圆曲线上整点定理的更短证明，不再需要假设Tate-Shafarevich群的$p$-部分是有限的。
• 利用扩展的高度配对框架，推导出从切向基点出发的双重Coleman积分的显式公式。

提出的方法

• 通过在公共点处赋予切向量，将Coleman-Gross高度配对扩展至具有非不相交支集的除子，确保局部项之和与向量选择无关。
• 使用$p$-进Arakelov理论分析曲线上切丛上的局部高度函数，特别是椭圆曲线的情形。
• 利用椭圆曲线上典范的不变微分来定义自然的切向量选择，从而得到良定义的局部高度函数。
• 证明：在普通椭圆曲线上，由此得到的局部高度函数本质上是$p$-进sigma函数的对数。
• 通过比较局部$p$-进项，将此识别应用于推导Mazur-Tate与Coleman-Gross高度配对的相等性。
• 利用扩展的配对与$p$-进sigma函数，推导出从切向基点出发的双重Coleman积分的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过切向量将Coleman-Gross高度配对扩展至非不相交除子后，是否与Mazur-Tate构造的全局配对结果一致？
• RQ2 在椭圆曲线上，使用来自不变微分的典范切向量计算的$p$-进局部高度，是否等于$p$-进sigma函数的对数？
• RQ3 是否可以通过比较局部$p$-进项而非依赖全局论证，来证明Mazur-Tate与Coleman-Gross高度配对的相等性？
• RQ4 能否利用局部高度与$p$-进sigma函数的识别来简化Kim关于整点定理的证明？
• RQ5 从切向基点出发的双重Coleman积分的显式公式是什么？如何利用扩展的高度配对框架进行计算？

主要发现

• 在普通椭圆曲线上，使用由不变微分诱导的切向量计算的$p$-进局部高度，等于$p$-进sigma函数的对数。
• 通过切向量扩展至非不相交支集的Coleman-Gross高度配对是对称的，且与向量选择无关，从而推广了经典配对。
• Mazur-Tate与Coleman-Gross高度配对在全球上一致，且现可通过直接比较局部$p$-进项来证明。
• 将局部高度与$p$-进sigma函数识别，为Kim关于整点定理提供了新的简短证明，且不再需要假设Tate-Shafarevich群的$p$-部分是有限的。
• 利用扩展的高度配对与$p$-进sigma函数，推导出从切向基点出发的双重Coleman积分的新公式。
• 数值例子验证了公式的自洽性，包括积分的显式$7$-进展开式以及椭圆曲线上$3$-挠点的坐标。