[论文解读] Collapsing behavior of Ricci-flat Kahler metrics and long time solutions of the Kahler-Ricci flow

Jian Song, Gang Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用 17

一句话总结

该论文在极小模型上半正则 canonical bundle 的射影流形上，针对长时间解的归一化 Kähler-Ricci 流，建立了统一的直径上界，前提是其在极小模型上纤维附近的 Ricci 曲率有统一有界。当 Kodaira 维数为 1 且一般纤维为复环面时，证明了流在 Gromov-Hausdorff 拓扑下的收敛性；并表明在 Calabi-Yau 纤维丛上，坍塌的 Ricci 平坦 Kähler 度量收敛于唯一一个与基空间正则部分上扭曲 Kähler-Einstein 度量的度量完备化同胚的度量。

ABSTRACT

We prove a uniform diameter bound for long time solutions of the normalized Kahler-Ricci flow on an $n$-dimensional projective manifold $X$ with semi-ample canonical bundle under the assumption that the Ricci curvature is uniformly bounded for all time in a fixed domain containing a fibre of $X$ over its canonical model $X_{can}$. This assumption on the Ricci curvature always holds when the Kodaira dimension of $X$ is $n$, $n-1$ or when the general fibre of $X$ over its canonical model is a complex torus. In particular, the normalized Kahler-Ricci flow converges in Gromov-Hausdorff topolopy to its canonical model when $X$ has Kodaira dimension $1$ with $K_X$ being semi-ample and the general fibre of $X$ over its canonical model being a complex torus. We also prove the Gromov-Hausdorff limit of collapsing Ricci-flat Kahler metrics on a holomorphically fibred Calabi-Yau manifold is unique and is homeomorphic to the metric completion of the corresponding twisted Kahler-Einstein metric on the regular part of its base.

研究动机与目标

• 建立射影流形上具有半正则 canonical bundle 的归一化 Kähler-Ricci 流长时间解的统一直径上界。
• 证明当 Kodaira 维数为 1 且一般纤维为复环面时，流在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于极小模型。
• 证明在全纯纤维化的 Calabi-Yau 流形上，坍塌的 Ricci 平坦 Kähler 度量的 Gromov-Hausdorff 极限是唯一的，并且与基空间正则部分上扭曲 Kähler-Einstein 度量的度量完备化同胚。
• 通过分析 Kähler-Ricci 流下奇点形成与度量坍塌，将解析极小模型程序加以拓展。

提出的方法

• 在具有半正则 canonical bundle 的 n 维射影流形 X 上应用归一化 Kähler-Ricci 流，其定义为 ∂g/∂t = -Ric(g) - g。
• 对 Kähler 潜势 φ 及其时间导数 ∂φ/∂t 应用统一的 L∞ 估计，以控制体积形式 ω(t)^n ≤ C e^{-(n-1)t} Ω。
• 在远离奇点纤维处 Ricci 曲率有统一有界的前提下，应用相对体积比较，推导出在极小模型上纤维的直径估计。
• 利用 g(t) 在极小模型 X_can^∘ 的正则部分收敛于扭曲 Kähler-Einstein 度量 g_can 的事实，其中 Ric(ω_can) = -ω_can + ω_WP。
• 应用度量完备化技术，证明 (X_can^∘, g_can) 的完备化与射影概形 X_can 同胚。
• 结合 (X_can^∘, g_can) 的测地凸性与 g(t) 在奇点纤维外的统一收敛性，控制纤维直径与全局直径上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有半正则 canonical bundle 的射影流形上，归一化 Kähler-Ricci 流的长时间解具有统一的直径上界？
• RQ2 在 Kodaira 维数为 1 且纤维为环面时，流在何种条件下于 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于极小模型？
• RQ3 全纯纤维化的 Calabi-Yau 流形上，坍塌的 Ricci 平坦 Kähler 度量的 Gromov-Hausdorff 极限具有何种结构？
• RQ4 极小模型正则部分上扭曲 Kähler-Einstein 度量的度量完备化与极小模型本身有何关系？

主要发现

• 在包含极小模型上某根纤维的固定区域中，Ricci 曲率有统一有界的前提下，建立了具有半正则 canonical bundle 的射影流形上归一化 Kähler-Ricci 流长时间解的统一直径上界。
• 当 Kodaira 维数为 1 且一般纤维为复环面时，归一化 Kähler-Ricci 流在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于极小模型。
• 全纯纤维化的 Calabi-Yau 流形上，坍塌的 Ricci 平坦 Kähler 度量的 Gromov-Hausdorff 极限是唯一的，并且与基空间正则部分上扭曲 Kähler-Einstein 度量的度量完备化同胚。
• 在 X_can^∘ 上，扭曲 Kähler-Einstein 度量的度量完备化与射影概形 X_can 同胚，从而证实了解析极小模型程序的一个关键预测。
• 对任意 ε > 0，存在 δ > 0 和 T > 0，使得对所有 t ≥ T，极小模型上奇异点的 δ-邻域在极小纤维化下的原像直径小于 ε。
• 当 t → ∞ 时，X_can 上正则点的纤维直径一致趋于零，且流在奇异纤维外一致收敛于极小度量。