[论文解读] Collapsing of the line bundle mean curvature flow on Kähler surfaces

Ryosuke Takahashi|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文研究在双曲临界相位条件与曲率形式半正性假设下，凯勒曲面上的线丛平均曲率流（LBMCF）。证明了该流在有限条负自交曲线之外光滑收敛至形变厄米-杨-米尔斯方程（dHYM）的奇异解，且在整个曲面上以当前（currents）意义收敛。由此得到了在双曲临界势函数空间上一个 Kempf–Ness 型泛函的精确下界。

ABSTRACT

We study the line bundle mean curvature flow on Kähler surfaces under the hypercritical phase and a certain semipositivity condition. We naturally encounter such a condition when considering the blowup of Kähler surfaces. We show that the flow converges smoothly to a singular solution to the deformed Hermitian-Yang-Mills equation away from a finite number of curves of negative self-intersection on the surface. As an application, we obtain a lower bound of a Kempf-Ness type functional on the space of potential functions satisfying the hypercritical phase condition.

研究动机与目标

• 分析当形变厄米-杨-米尔斯（dHYM）方程无光滑解时，紧致凯勒曲面上线丛平均曲率流（LBMCF）的长时间行为。
• 理解当 dHYM 方程不可解时极限对象的几何与分析结构，特别是负自交曲线上的奇点形成机制。
• 利用流的收敛性质，建立在双曲临界势函数空间上一个 Kempf–Ness 型泛函的下界。
• 通过将 dHYM 方程重写为退化的复蒙日-安培方程，并应用拟凸分析理论结果，将 $J$-流的技术推广至 LBMCF。

提出的方法

• 将 LBMCF 表述为凯勒势 $\phi_t$ 的抛物型流，其演化满足 $\frac{d}{dt}\phi = \Theta_\alpha - \widehat{\Theta}$，其中 $\Theta_\alpha$ 为曲率形式的拉格朗日相位。
• 将 dHYM 方程重写为退化的复蒙日-安培方程，从而可应用奇异拟凸分析理论。
• 利用 [EGZ09] 中的结果构造一个奇异解 $\phi_\infty$，该结果保证存在一个有界 $\widehat{F}$-拟凸函数满足退化方程。
• 通过与奇异解 $\psi$ 的比较，获得 $\phi_t$ 的 $C^0$-估计，其中利用了 $F_{\phi_t}$ 的一致下界。
• 证明在 $X \setminus \bigcup_i C_i$ 上有 $\phi_t \to \phi_\infty$ 的 $C^\infty_{\rm loc}$ 收敛，其中 $C_i$ 为负自交曲线。
• 利用流沿 $\mathcal{I}$ 和 $\mathcal{J}$ 函数列的单调性，推导出 $\mathcal{J}$ 的下界，其中 $\mathcal{J}(\phi_0) \geq \mathcal{J}(\phi_\infty)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线丛平均曲率流于凯勒曲面上，在何种条件下收敛至形变厄米-杨-米尔斯方程的奇异解？
• RQ2 流在何处无法光滑收敛，其奇点集的结构如何，其几何特征如何刻画？
• RQ3 该流能否用于推导出在双曲临界势函数空间上一个 Kempf–Ness 型泛函的精确下界？
• RQ4 半正性条件 $\cot\widehat{\Theta}\alpha + \widehat{F} \geq 0$ 如何影响流的极限行为？
• RQ5 从 $J$-流中发展出的技术，如退化复蒙日-安培方程与拟凸分析理论，在多大程度上可推广至 LBMCF？

主要发现

• 流在 $X \setminus \bigcup_i C_i$ 上以 $C^\infty_{\rm loc}$ 光滑收敛至有界极限 $\phi_\infty$，其中 $C_i$ 为有限条负自交曲线。
• 极限 $\phi_\infty$ 在 $X \setminus \bigcup_i C_i$ 上满足形变厄米-杨-米尔斯方程 $\mathrm{Im}\big(e^{-\sqrt{-1}\widehat{\Theta}}(\alpha + \sqrt{-1}F_{\phi_\infty})^2\big) = 0$。
• 尽管在曲线 $C_i$ 上存在奇点，但 $F_{\phi_t} \to F_{\phi_\infty}$ 在整个曲面 $X$ 上以当前（currents）意义收敛。
• $\mathcal{I}(\phi_t)$ 沿流单调递减且有下界，收敛至由初始数据 $\phi_0$ 唯一确定的极限 $m$。
• $\mathcal{J}(\phi_t)$ 同样单调递减，从而导出下界 $\mathcal{J}(\phi_0) \geq \mathcal{J}(\phi_\infty)$，且 $\mathcal{J}(\phi_\infty)$ 与 $\mathcal{H}_{\rm HC}$ 中初始数据的选择无关。
• 极限 $\phi_\infty$ 是满足 $\mathcal{I}(\phi_\infty) = m$ 的退化复蒙日-安培方程的唯一解，且收敛过程无需取子列。