[论文解读] Commensurating HNN-extensions: hierarchical hyperbolicity and biautomaticity

Sam Hughes, Motiejus Valiunas|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用 4

一句话总结

该论文通过在 $
\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 上作用的算术曲面群的共轭 HNN 扩张，构造了首个非双自动的分层双曲群（HHG）的例子。该群是 $
\mathrm{CAT}(0)$、无挠、均匀且不可约的，其非双自动性通过测地线电流以及在假设存在双自动结构下翻译长度函数的非有理化性质得以证明。

ABSTRACT

We construct a CAT(0) hierarchically hyperbolic group (HHG) acting geometrically on the product of a hyperbolic plane and a locally-finite tree which is not biautomatic. This gives the first example of an HHG which is not biautomatic, the first example of a non-biautomatic CAT(0) group of flat-rank 2, and the first example of an HHG which is injective but not Helly. Our proofs heavily utilise the space of geodesic currents for a hyperbolic surface.

研究动机与目标

• 解决分层双曲群（HHG）是否均为双自动的开放问题。
• 构造首个平坦秩为 2 的 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群，且该群非双自动。
• 提供首个既是单射但非 Helly 又是非剩余有限的 HHG 的例子。
• 开发一种基于测地线电流的新方法来证明非双自动性，且不依赖于边界分析。
• 证明 HHG 中的非双自动性无法简化为已知构造（如 Leary–Minasyan 群）

提出的方法

• 通过算术曲面群的 HNN 扩张构造一个均匀不可约格 $\Gamma < \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$，其中稳定元共轭曲面群，并在 $\mathbb{RH}^2$ 上作用为无限阶椭圆等距变换。
• 利用 $\Gamma$ 在 $\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 上的等距作用，推导出 $\Gamma$ 是 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群且自由地、共(compact)作用。
• 应用 [Hug22a, 推论 3.3] 得出 $\Gamma$ 是分层双曲群（HHG）。
• 假设 $\Gamma$ 上存在一个均匀有限对一的双自动结构 $ (B, \mathcal{M}) $，并利用拟凸性与限制，推导出曲面子群 $\widehat{G} \cong \pi_1(\Sigma)$ 上的双自动结构 $ (A, \mathcal{L}) $。
• 在 $\mathcal{C}^+(\Sigma)$ 上定义翻译长度函数 $\tau_{\mathcal{L}}$，其通过测地线电流空间 $\mathcal{G}^+(\Sigma)$ 传递，并证明其为正线性且齐次。
• 利用 [Martínez-Granado 和 Thurston] 中关于函数延拓至测地线电流的深刻结果，证明 $\tau_{\mathcal{L}} = k \cdot \iota(-, \lambda_\Sigma)$，其中 $\iota$ 为交叉数，从而通过 $\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ 的无理性导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个分层双曲群（HHG）是否都是双自动的？
• RQ2 平坦秩为 2 的 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群是否可能非双自动？
• RQ3 是否存在一个非双自动的 HHG，其构造不依赖于或不包含 Leary–Minasyan 群？
• RQ4 非双自动性是否可通过测地线电流与交叉数检测？
• RQ5 是否存在一个 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群，其为单射但非 Helly，或非剩余有限，但仍为 HHG？

主要发现

• 该论文构造了首个已知的非双自动的分层双曲群（HHG）的例子，回答了该领域的一个开放问题。
• 所构造的群 $\Gamma$ 是 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$ 中的均匀不可约格，自由地、共(compact)作用于 $\mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$，因此是 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群。
• 该群具有平坦秩 2，提供了首个平坦秩为 2 的 $
  \mathrm{CAT}(0)$ 群但非双自动的例子。
• 非双自动性通过矛盾法确立：假设存在双自动结构将导致翻译长度函数 $\tau_{\mathcal{L}}$ 必须是有理倍数的交叉数 $\iota(-, \lambda_\Sigma)$，但比值 $\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ 为无理数。
• 群 $\Gamma$ 是单射但非 Helly，提供了首个具有此性质的 HHG 的例子。
• 该结果意味着以下至少一项为假：(1) 每个 HHG 都是自动的，或 (2) 每个自动群都是双自动的。