[论文解读] Common equivalence and size after forgetting

Paolo Liberatore|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 61被引用 4

一句话总结

本文研究了在命题逻辑中遗忘变量后，公式大小与逻辑等价性之间的权衡，表明引入新变量可显著减小公式大小，同时保持常见等价性。研究证明，对于单头、无环公式，遗忘后的最小化问题可在多项式时间内求解，但当允许使用新变量时，问题变为 NP-难。通过图论归约，建立了最小公式大小与顶点覆盖大小之间的紧密线性关系。

ABSTRACT

Forgetting variables from a propositional formula may increase its size. Introducing new variables is a way to shorten it. Both operations can be expressed in terms of common equivalence, a weakened version of equivalence. In turn, common equivalence can be expressed in terms of forgetting. An algorithm for forgetting and checking common equivalence in polynomial space is given for the Horn case; it is polynomial-time for the subclass of single-head formulae. Minimizing after forgetting is polynomial-time if the formula is also acyclic and variables cannot be introduced, NP-hard when they can.

研究动机与目标

• 分析在命题公式中遗忘变量后公式大小意外增大的现象，这种现象会削弱其简化的目的。
• 研究在遗忘后引入新变量是否能减小公式大小，从而恢复紧凑性。
• 形式化遗忘后公式最小化与计算复杂性的关系，尤其关注 Horn 公式和单头子类。
• 建立最小公共等价公式与图中最小顶点覆盖之间的紧密联系，证明复杂性界限。

提出的方法

• 使用公共等价性——一种弱化形式的逻辑等价性，仅在共享变量上保持推理关系——作为遗忘后比较公式的正式框架。
• 通过构建一个公式，使其最小公共等价形式对应于导出图中的顶点覆盖，将遗忘后最小化问题归约为图论问题。
• 设计从命题公式到含辅助变量的新公式的变换，确保消去新变量后可恢复原始公式。
• 证明对于单头、无环公式，遗忘后的最小化问题可通过利用其结构约束在多项式时间内求解。
• 通过从最小顶点覆盖问题的归约，证明当允许使用新变量时，最小化问题变为 NP-难。
• 建立最小公共等价公式与最小顶点覆盖之间的线性大小对应关系，表明公式大小随覆盖大小线性增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在遗忘后引入新变量是否能减小公式大小，尽管遗忘本身可能造成初始膨胀？
• RQ2 遗忘后最小化公式的计算复杂性如何，无论是否允许使用新变量？
• RQ3 是否存在遗忘后最小化仍为可 tractable 的公式的结构特征？
• RQ4 最小公共等价公式的大小与顶点覆盖等组合优化问题之间有何关系？

主要发现

• 由于结构约束，单头、无环公式的遗忘后最小化问题可在多项式时间内求解。
• 当不允许使用新变量时，单头、无环公式的遗忘后最小化问题仍为多项式时间可解。
• 当允许使用新变量时，问题变为 NP-难，即使对于 Horn 公式，这是通过归约至最小顶点覆盖问题所证明的。
• 最小公共等价公式大小与导出图中最小顶点覆盖大小之间存在紧密线性关系：公式大小 = 6|E| + 8|V| + k，其中 k 为覆盖大小。
• 每个最小公共等价公式对应一个顶点覆盖，且每个大小为 k 的顶点覆盖均可生成一个大小为 6|E| + 8|V| + k 的公共等价公式。
• 该构造确保在新公式中消去辅助变量后可恢复原始公式，从而证明其公共等价性。