[论文解读] Comparison theorems for Gromov-Witten invariants of smooth pairs and of degenerations

Dan Abramovich, Steffen Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文通过构建其模空间之间的态射并证明其虚拟基本类在上推下兼容，确立了四种不同方法计算相对 Gromov-Witten 不变量的等价性——即 Li 的原始理论、Abramovich-Fantechi 的轨道方法、Kim 的对数展开方法，以及 Abramovich-Chen-Gross-Siebert 的无展开对数理论。关键结果是，这四种理论均给出完全相同的 Gromov-Witten 不变量。

ABSTRACT

We consider four approaches to relative Gromov-Witten theory and Gromov-Witten theory of degenerations: Jun Li's original approach, Bumsig Kim's logarithmic expansions, Abramovich-Fantechi's orbifold expansions, and a logarithmic theory without expansions due to Gross-Siebert and Abramovich-Chen. We exhibit morphisms relating these moduli spaces and prove that their virtual fundamental classes are compatible by pushforward through these morphisms. This implies that the Gromov-Witten invariants associated to all four of these theories are identical.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：比较退化或奇异目标下多种相对 Gromov-Witten 不变量构造之间的关系。
• 统一四种不同的理论框架：Li 的展开目标、Abramovich-Fantechi 的轨道展开、Kim 的对数展开，以及 Abramovich-Chen-Gross-Siebert 的无对数理论。
• 证明尽管几何和形变理论基础不同，这四种理论仍产生完全相同的 Gromov-Witten 不变量。
• 在这些构造之间建立一致的虚拟基本类框架，确保枚举几何中的一致性。
• 提供一个基础性比较，支持在涉及退化或相对不变量的应用中任意互换使用这四种理论。

提出的方法

• 为四种理论——${\mathsf{AF}}$、${\mathsf{Li}}$、${\mathsf{Kim}}$ 和 ${\mathsf{ACGS}}$——所关联的稳定映射模空间之间构造显式态射。
• 利用形变理论和对数几何，关联各自模空间的障碍理论。
• 通过对数余切复形和通用目标构造，比较虚拟基本类。
• 证明每种理论的虚拟基本类在所构造的态射下上推后完全一致。
• 采用一种避免依赖对数余切复形的虚拟基本类相对构造，从而可与 Li 的原始方法进行比较。
• 利用扭从丛和叠论技巧分析切丛与形变空间，尤其在线丛及其扩张的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 Li 的展开目标方法计算的 Gromov-Witten 不变量是否与 Abramovich-Fantechi 的轨道理论结果等价？
• RQ2 尽管形变理论结构不同，Kim 的对数展开方法能否被证明与 Li 的原始理论产生相同的不变量？
• RQ3 Abramovich-Chen-Gross-Siebert 的无对数理论是否与其余三种方法产生相同的不变量，特别是在无展开的情形下？
• RQ4 四种理论的虚拟基本类之间存在何种精确关系？它们在自然态射下的上推关系如何？
• RQ5 能否在所有四种理论之间建立统一的虚拟基本类框架，以确保枚举几何中的一致性？

主要发现

• Abramovich-Fantechi 模空间的虚拟基本类在态射 $\Psi$ 下的上推，与 Li 理论中的虚拟基本类完全一致。
• Kim 的对数模空间的虚拟基本类在态射 $\Theta$ 下的上推，与 Li 理论中的虚拟基本类完全一致。
• Kim 模空间的虚拟基本类在态射 $\Upsilon$ 下的上推，与 Abramovich-Chen-Gross-Siebert 理论中的虚拟基本类完全一致。
• 所有四种理论——${\mathsf{Li}}$、${\mathsf{AF}}$、${\mathsf{Kim}}$ 和 ${\mathsf{ACGS}}$——产生完全相同的主类与下位类 Gromov-Witten 不变量。
• 通过一种避免依赖对数余切复形的通用目标构造，建立了虚拟基本类的相容性。
• 通过证明其虚拟周期的上推完全一致，确立了这些理论之间的等价性，从而证实了不同基础方法之间的一致性。