[论文解读] Competitive-Ratio Approximation Schemes for Minimizing the Makespan in the Online-List Model

Nicole Megow, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了首个针对相同机器和均匀相关机器在线列表模型下在线工期最小化问题的竞争比近似方案。通过利用算法映射、基于配置的分析以及有界速度离散化，该方法可在线计算出竞争比任意接近最优值的在线算法，同时还能以任意所需精度估计最优竞争比。

ABSTRACT

We consider online scheduling on multiple machines for jobs arriving one-by-one with the objective of minimizing the makespan. For any number of identical parallel or uniformly related machines, we provide a competitive-ratio approximation scheme that computes an online algorithm whose competitive ratio is arbitrarily close to the best possible competitive ratio. We also determine this value up to any desired accuracy. This is the first application of competitive-ratio approximation schemes in the online-list model. The result proves the applicability of the concept in different online models. We expect that it fosters further research on other online problems.

研究动机与目标

• 解决在线列表模型中缺乏竞争比近似方案的问题，该模型与先前研究的在线时间模型不同。
• 提供一种方法，可为任意固定数量的机器计算出竞争比任意接近最优可能值的在线算法。
• 在任意所需精度范围内估计在线工期最小化问题的最优竞争比，克服手动推导上下界限制。
• 将竞争比近似方案的适用范围从在线时间模型扩展至更具限制性的在线列表模型。
• 为未来研究在线问题的一般性质（即哪些问题可支持此类近似方案）奠定基础。

提出的方法

• 定义算法映射，基于作业大小和机器状态编码在线决策规则，将问题简化为有限多个候选策略。
• 使用基于配置的分析方法，通过考虑最坏情况下的实际作业-机器分配，来界定每个算法映射的竞争比。
• 通过将机器速度四舍五入为 $1+\varepsilon$ 的幂次实现速度离散化，竞争比最多损失 $1+\varepsilon$ 因子。
• 通过有损但有界的变换将最大机器速度限制为 $m/\varepsilon$，确保仅需考虑有限多个速度向量。
• 对每个离散化速度向量和作业大小配置，枚举所有可行的算法映射，并使用多项式时间近似过程估计其竞争比。
• 选择估计竞争比最小的算法映射，确保输出算法为 $ (1+\varepsilon) \rho^* $-竞争，且估计值与真实最优比值相差不超过 $ (1+\varepsilon) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 竞争比近似方案能否在在线列表模型中有效应用，其中决策不可撤销，且作业按顺序到达而无释放时间？
• RQ2 在 $ m $ 个相同或均匀相关机器上，在线工期最小化问题的最优竞争比是多少？能否以任意精度近似？
• RQ3 算法映射与基于配置的分析方法如何适应在线列表模型的约束，同时保持竞争比保证？
• RQ4 哪些变换可实现机器速度和作业处理时间的有界离散化，而不会显著降低竞争比性能？
• RQ5 计算方法在多大程度上可替代在线调度中手动推导最优竞争比上下界的过程？

主要发现

• 本文首次提出 $ \textup{Pm}|\,\,|C_{\max} $ 在线列表变体的竞争比近似方案，支持计算出竞争比任意接近最优的在线算法。
• 对于均匀相关机器，通过速度离散化和有界配置分析，该方案可扩展至 $ \textup{Qm}|\,\,|C_{\max} $，并保持 $ (1+\varepsilon) $-近似保证。
• 该方法可在 $ (1+\varepsilon) $ 因子内估计最优竞争比 $ \rho^* $，为任意数量的机器提供可计算且精确的界。
• 该构造在理论上是严谨的，证明了竞争比近似方案不仅适用于在线时间模型，也适用于更严格的在线列表模型，从而开辟了新的研究方向。
• 尽管该方法在理论上正确，但其计算复杂度较高，尤其在 $ \varepsilon $ 较小时，表明需要优化算法结构以提升实际可行性。
• 该框架表明，计算机可自动化推导竞争比界，与传统的人工证明技术形成鲜明对比。