[论文解读] Complete Calabi-Yau metrics from P^2 # 9 \bar P^2

Hans‐Joachim Hein|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 64被引用 6

一句话总结

该论文在将 ℙ² 在九个基点处进行 blown up 后得到的有理椭圆曲面的纤维补全上构造了完备的 Ricci-flat Kähler 度量。通过采用 Tian-Yau PDE 方法并结合 Gross-Wilson 启发的 ansatz，证明了在大多数 de Rham 上同调类中存在此类度量，其渐近行为取决于纤维的单值性：光滑纤维时为指数衰减至一个分裂圆柱面，有限单值性时为二次衰减至一个平坦的 T²-子覆叠，无限单值性时为幂律衰减，且给出了精确的曲率估计，表明 Cheeger-Tian 的曲率界无法被改进。

ABSTRACT

Let $X$ denote the complex projective plane, blown up at the nine base points of a pencil of cubics, and let $D$ be any fiber of the resulting elliptic fibration on $X$. Using ansatz metrics inspired by work of Gross-Wilson and a PDE method due to Tian-Yau, we prove that $X \setminus D$ admits complete Ricci-flat Kähler metrics in most de Rham cohomology classes. If $D$ is smooth, the metrics converge to split flat cylinders $\R^+ imes S^1 imes D$ at an exponential rate. In this case, we also obtain a partial uniqueness result and a local description of the Einstein moduli space, which contains cylindrical metrics whose cross-section does not split off a circle. If $D$ is singular but of finite monodromy, they converge at least quadratically to flat $T^2$-submersions over flat 2-dimensional cones which need not be quotients of $\R^2$. If $D$ is singular of infinite monodromy, their volume growth rates are 4/3 and 2 for the Kodaira types ${ m I}_b$ and ${{ m I}_b}^*$, their injectivity radii decay like $r^{-1/3}$ and $(\log r)^{-1/2}$, and their curvature tensors decay like $r^{-2}$ and $r^{-2}(\log r)^{-1}$. In particular, the ${ m I}_b$ examples show that the curvature estimate from Cheeger-Tian \cite{ct-einstein} cannot be improved in general.

研究动机与目标

• 在 ℙ² 在九个基点处 blown up 后得到的有理椭圆曲面 X = ℙ²#9ℙ̄² 的纤维补全上构造完备的 Ricci-flat Kähler 度量。
• 基于纤维 D 的单值性类型，理解这些度量的渐近几何结构。
• 建立精确的曲率衰减速率估计，并在柱状情形下证明部分唯一性结果。
• 描述在非分裂横截面的柱状度量附近爱因斯坦模形式空间的局部结构。
• 探究在存在奇点纤维时，Cheeger-Tian 的曲率衰减估计是否可被改进。

提出的方法

• 使用 Tian-Yau PDE 方法，在 X\D 上求解带权 Sobolev 不等式框架下的复 Monge-Ampère 方程。
• 采用受 Gross-Wilson 在椭圆纤维化中奇点纤维研究启发的度量 ansatz。
• 应用带权 Sobolev 不等式和等周估计，以控制解在无穷远处及纤维附近的性态。
• 求解 ε-扰动的复 Monge-Ampère 方程，并取 ε→0 的极限，得到完备的 Ricci-flat 度量。
• 通过分类纤维类型（光滑、有限单值性、无限单值性），分析曲率和体积增长的衰减速率。
• 使用隐函数定理和线性化分析研究模形式空间结构，并在柱状情形下证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大多数 de Rham 上同调类，是否存在完备的 Ricci-flat Kähler 度量在 X\D 上，其中 X 是 ℙ² 在九个基点处 blown up 后的曲面，D 是由此椭圆纤维化产生的一个纤维？
• RQ2 当 D 为光滑纤维时，这些度量的精确渐近几何结构是什么？它们以何种速率收敛至一个分裂的平坦圆柱面？
• RQ3 Cheeger-Tian 的曲率衰减估计是否可被改进？这些估计揭示了具有无限单值性的奇点纤维的几何特性为何？
• RQ4 在横截面不分解为圆的柱状度量附近，爱因斯坦模形式空间的局部结构是怎样的？
• RQ5 对于 Kodaira 型 Ib 和 I*b 纤维，度量是否表现出不同的体积增长与曲率衰减速率？若是，其精确速率为何？

主要发现

• 对于光滑纤维 D，X\D 上的完备 Ricci-flat 度量以指数速率收敛至一个分裂的平坦圆柱面 ℝ⁺×S¹×D。
• 对于有限单值性纤维，度量以二次速率收敛至平坦的 T²-子覆叠，其底空间为平坦的二维锥面，该锥面不一定是 ℝ² 的商。
• 对于 Kodaira 型 Ib 纤维，体积增长为 r⁴/³，曲率衰减为 r⁻²；对于 I*b 纤维，体积增长为 r²，曲率衰减为 r⁻²(log r)⁻¹。
• Ib 纤维的曲率衰减速率表明，Cheeger-Tian 估计在一般情况下无法被改进，因为该衰减是精确的。
• 在有限单值性且为柱状的情形下，存在部分唯一性结果，且爱因斯坦模形式空间允许包含非分裂横截面的局部描述。
• 论文构造了一个从形变空间到形变空间的线性映射，并证明其为同构，从而确认了在柱状度量附近模形式空间的局部结构。