[论文解读] Complete sums of products of (h,q)-extension of Euler numbers and polynomials

Yılmaz Şimşek|ArXiv.org|Jul 19, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文通过费米子p进q–Volkenborn积分，引入了欧拉多项式与数的高阶(h,q)扩展，推导出包含多项式系数和多变量的完整乘积和公式。主要贡献在于建立了一个广义恒等式，将多变量(h,q)–欧拉多项式与低阶多项式的乘积联系起来，将经典欧拉与伯努利多项式的结果推广至(h,q)框架，适用于p进分析与特殊函数。

ABSTRACT

In this paper we investigate some interesting of the (h,q)-extension of Euler numbers and polynomials. Finally, we will give some relations between these numbers anf polynomials

研究动机与目标

• 通过p进q积分，发展高阶(h,q)扩展的欧拉多项式与数。
• 建立多变量(h,q)欧拉多项式的完整乘积和恒等式。
• 利用多项式系数关系与p进积分，将经典欧拉与伯努利多项式的结果推广至(h,q)框架。
• 利用费米子p进q–Volkenborn积分，为(h,q)欧拉数与多项式提供新恒等式与生成函数。

提出的方法

• 通过费米子p进q–Volkenborn积分，构造(h,q)欧拉多项式与数的生成函数。
• 应用多项式定理与多项式系数恒等式，分解多变量多项式表达式。
• 利用Witt公式与(h,q)欧拉数的分布关系，推导积分表示。
• 使用ℤ_p上的p进不变q积分，定义并操作(h,q)欧拉数与多项式。
• 推导出E_{n,q}^{(h,v)}(y₁+⋯+yᵥ)关于E_{l_j,q}^{(h)}(y_j)乘积的广义多项式恒等式。
• 应用符号计算与生成函数技术，验证并推广涉及(h,q)欧拉多项式的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将(h,q)欧拉多项式的完整乘积和推广至高阶多变量情形？
• RQ2 费米子p进q–Volkenborn积分在构造(h,q)欧拉数与多项式的生成函数中起什么作用？
• RQ3 多项式系数与多项式展开如何与高阶(h,q)欧拉多项式的结构相关联？
• RQ4 经典欧拉与伯努利多项式的完整乘积恒等式能否推广至(h,q)框架？
• RQ5 所推导恒等式对(h,q)欧拉数在负整数处的插值有何影响？

主要发现

• 本文建立了完整的乘积和恒等式：E_{n,q}^{(h,v)}(y₁+⋯+yᵥ) = ∑_{l₁+⋯+lᵥ=n} (n; l₁,…,lᵥ) ∏_{j=1}^{v} E_{l_j,q}^{(h)}(y_j)，其中使用了多项式系数。
• 当h=1且q→1时，该恒等式退化为经典欧拉多项式和，恢复了欧拉多项式已知结果。
• 所推导的恒等式通过p进q–Volkenborn积分与Witt公式证明，将积分表示与多项式恒等式联系起来。
• 利用费米子p进q–Volkenborn积分，构造了高阶(h,q)欧拉多项式的新生成函数。
• 本文推广了先前关于(h,q)伯努利与欧拉多项式的研究，将其扩展至多变量与高阶设置。
• 推论2建立了涉及(h,q)欧拉与(h,q)伯努利多项式的混合恒等式，揭示了不同特殊多项式族之间的联系。