[论文解读] Complex Monge-Ampère equation for measures supported on real submanifolds

Duc‐Viet Vu|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文证明了当测度 $\mu$ 支撑于紧致凯勒流形 $X$ 的一个一般 $\mathcal{C}^3$ 实子流形 $K$ 上，且 $\mu$ 具有 $L^p$ 密度（$p > 1$）时，复蒙日-安培方程 $(dd^c\varphi + \omega)^n = \mu$ 存在 Hölder 连续解。关键贡献在于证明了此类测度具有 Hölder 连续的超势能，从而通过已知的稳定性结果，推导出解的 Hölder 正则性，其 Hölder 指数显式依赖于 $p$、$d$ 和 $n$。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be a compact $n$-dimensional Kähler manifold on which the integral of $ω^n$ is $1$. Let $K$ be an immersed real $\mathcal{C}^3$ submanifold of $X$ such that the tangent space at any point of $K$ is not contained in any complex hyperplane of the (real) tangent space at that point of $X.$ Let $μ$ be a probability measure compactly supported on $K$ with $L^p$ density for some $p>1.$ We prove that the complex Monge-Ampère equation $(dd^c φ+ ω)^n=μ$ has a Hölder continuous solution.

研究动机与目标

• 研究当测度 $\mu$ 支撑于一般实子流形时，复蒙日-安培方程 $(dd^c\varphi + \omega)^n = \mu$ 解的正则性。
• 识别一类测度——具体而言，是支撑于一般 $\mathcal{C}^3$ 子流形上的概率测度，且具有 $L^p$ 密度——使得解为 Hölder 连续。
• 证明此类测度的超势能为 Hölder 连续，从而通过已知的稳定性结果，推导出解的 Hölder 正则性。
• 以 $p$、子流形的实余维数 $d$ 以及环境流形的复维数 $n$ 表示解的显式 Hölder 指数。
• 将已知的可产生 Hölder 连续解的测度类扩展至那些相对于体积形式具有密度的测度之外，包括支撑于正余维数子流形上的测度。

提出的方法

• 证明依赖于构造一族部分附着于一般子流形 $K$ 的解析圆盘，使用带参数 $t$ 的贝尔特拉米型方程的修改解。
• 通过调和延拓和对具有受控性质的参考函数 $u_0$ 的扰动，构造解析圆盘，确保圆盘在边界附近保持靠近 $K$。
• 该构造确保圆盘映射的雅可比行列式满足与 $(1 - |z|)^{d-1}$ 成比例的下界，从而控制畸变并实现测度估计。
• 通过估计 $\omega$-次调和函数之间的 $L^1$-距离，并利用解析圆盘的几何性质来控制超势能的变化，从而建立超势能的正则性。
• 通过均匀控制解映射下圆盘像的测度，推导出超势能的 Hölder 连续性。
• 最后，将结果与已知的稳定性与正则性定理（如 Demailly、Dinew、Guedj 等人的结果）结合，推导出解 $\varphi$ 的 Hölder 连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测度 $\mu$ 支撑于具有 $L^p$ 密度的一般实子流形上时，复蒙日-安培方程解的最优 Hölder 正则性是什么？
• RQ2 能否证明支撑于一般 $\mathcal{C}^3$ 子流形上的测度的超势能为 Hölder 连续？若是，其 Hölder 指数是多少？
• RQ3 部分附着于一般子流形的解析圆盘的几何结构如何用于估计超势能并证明正则性？
• RQ4 可产生复蒙日-安培方程 Hölder 连续解的测度类是否包括那些支撑于正余维数子流形上且具有 $L^p$ 密度的测度？
• RQ5 解的 Hölder 指数能否以余维数 $d$、维数 $n$ 和密度的可积指数 $p$ 显式表示？

主要发现

• 复蒙日-安培方程 $(dd^c\varphi + \omega)^n = \mu$ 存在唯一的 $\omega$-次调和解 $\varphi$，其 Hölder 连续性指数满足 $\alpha < \frac{2(p-1)}{3d(n+1)p}$，其中 $p > 1$ 为 $\mu$ 密度的可积指数。
• 测度 $\mu = \mathbf{1}_{\tilde{K}} \cdot \mathrm{vol}_K$ 的超势能具有 Hölder 连续性，指数满足 $\alpha < \frac{1}{3d}$，其中 $\tilde{K}$ 是一般 $\mathcal{C}^3$ 子流形 $K$ 的紧致子集。
• 推论 1.2 建立了指数可积性估计：存在常数 $\alpha > 0$ 和 $c > 0$，使得对所有满足 $\sup_X \varphi = 0$ 的 $\omega$-次调和函数 $\varphi$，有 $\int_{\tilde{K}} e^{-\alpha \varphi} \, d\mathrm{vol}_K \leq c$。
• 若 $K$ 为 $\mathcal{C}^{2,\beta}$（$\beta \in (0,1)$），则证明依然成立，只需将 $\mathcal{C}^{2,1/2}$ 正则性替换为 $\mathcal{C}^{2,\beta'}$，其中 $\beta' < \beta$。
• 该结果将可产生 Hölder 连续解的测度类扩展至相对于环境流形体积形式具有密度的测度之外，包括支撑于正余维数子流形上的测度。
• 构造部分附着于 $K$ 的解析圆盘提供了一种几何机制，用于控制超势能，并通过测度论与势论论证推导出 Hölder 估计。