[论文解读] Complexifications of infinite-dimensional manifolds and new constructions of infinite-dimensional Lie groups

Rafael Dahmen, Helge Glöckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文证明了在基于正规、可度量化的局部凸空间的无限维实解析流形中，紧致子集的开邻域存在复化结构且唯一。该文在 $C^0$-正则复解析李群结构下，于 $H$ 值 $Ω$-解析映射的芽群上构造了李群结构，扩展了便利微分学框架下的已有结果，并实现了对如当前群与环路群等新无限维李群的构造。

ABSTRACT

Let M be a real analytic manifold modeled on a locally convex space and K be a non-empty compact subset of M. We show that if an open neighborhood of K in M admits a complexification which is a regular topological space, then the germ of the latter (as a complex manifold) is uniquely determined. If M is regular and the complexified modeling space of M is normal, then a regular complexification exists for some neighborhood of K. For each (real or complex) analytic regular manifold M modeled on a metrizable locally convex space and Banach-Lie group H, this allows the group Germ(K,H) of germs of H-valued analytic maps around K in M to be turned into an analytic Lie group which is regular in Milnor's sense. A special case is a regular real analytic Lie group structure on the group of real analytic H-valued maps on a compact real analytic manifold M (which, previously, had only been treated in the convenient setting of analysis). Combining our results concerning groups of germs with an idea by Neeb and Wagemann, one can also obtain a regular Lie group structure on the group of all real analytic H-valued mappings on the real line.

研究动机与目标

• 建立无限维实解析流形中紧致子集的开邻域复化结构的存在性与唯一性。
• 在紧集 $K$ 附近构造 $\mathbb{K}$-解析 $H$-值映射芽群的 $C^0$-正则复解析李群结构。
• 通过在映射群 $C^\omega(M,H)$ 与 $C^\omega(\mathbb{R},H)$ 上提供 $C^0$-正则结构，将无限维李群理论扩展至便利微分学框架之外。
• 在模型空间与流形满足正则性条件时，推广经典 Bruhat–Whitney 粘接方法至无限维流形。

提出的方法

• 通过实解析图册的局部解析延拓，将 Bruhat–Whitney 复化构造方法适配至无限维流形。
• 在流形及其模型空间满足正则性与正规性假设下，证明紧集 $K$ 附近复化芽的唯一性。
• 当 $M$ 正则且 $E_{\mathbb{C}}$ 正规时，证明存在某开邻域 $\Omega$ 的正则复化 $\Omega^*$。
• 通过 $H$-值映射的解析延拓，将李群 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ 构造为 Banach-Lie 群的投射极限。
• 在芽的李代数 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h})$ 中使用 Baker–Campbell–Hausdorff (BCH) 公式定义局部解析乘法，确保局部正则性。
• 应用群论扩展结果（命题 5.6），通过伴随作用的解析性与共轭不变性，将局部李群结构扩展至整个芽群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维实解析流形中，紧致子集的开邻域复化结构在何种条件下存在？
• RQ2 在何种拓扑假设下，紧集附近的复化芽被唯一确定？
• RQ3 紧致流形上的 $\mathbb{K}$-解析 $H$-值映射芽群能否赋予 $C^0$-正则李群结构？
• RQ4 如何将无限维李群理论扩展至便利微分学框架之外，以包含 $C^0$-正则性？
• RQ5 何种条件可确保芽的李代数上共轭作用为解析，从而实现全局李群结构？

主要发现

• 对于任意非空紧致子集 $K$ 的正规实解析流形 $M$（其模型空间为可度量化的局部凸空间），存在 $K$ 的开邻域 $\Omega$，其允许正则复化 $\Omega^*$。
• 在 $M$ 正则且复化模型空间 $E_{\mathbb{C}}$ 正规的假设下，$K$ 附近的复化芽作为复解析流形被唯一确定。
• $K$ 上 $\mathbb{K}$-解析 $H$-值映射芽群 $\operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ 赋予 $\mathbb{K}$-解析李群结构，且在 Milnor 意义下为 $C^0$-正则。
• $C^\omega(M,H)$ 上实解析 $H$-值映射群在紧致实解析流形 $M$ 上继承了 $C^0$-正则李群结构，填补了文献中的空白。
• 通过适配 Neeb–Wagemann 思路，该构造可推广至 $C^\omega(\mathbb{R},H)$，从而在该当前群上实现 $C^0$-正则李群结构。
• 指数映射 $\Phi: \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,\mathfrak{h}) \to \operatorname{Germ}_{\mathbb{C}}(K,H)$ 在单位元处为局部解析微分同胚，使得 BCH 级数与群扩张技术得以应用。