[论文解读] Complexity, combinatorial positivity, and Newton polytopes.

Anshul Adve, Colleen Robichaux+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文建立了用于判断施鲁伯特多项式系数非零的表格准则，从而首次实现了该问题的多项式时间算法。通过刻画施鲁比托普（Schubitope）——一种推广了对称群排列多面体的牛顿多面体——证明了非零系数问题属于 NP ∩ coNP，提供了良好的刻画，并将代数组合数学与复杂性理论联系起来。

ABSTRACT

The Nonvanishing Problem asks if a coefficient of a polynomial is nonzero. Many families of polynomials in algebraic combinatorics admit combinatorial counting rules and simultaneously enjoy having saturated Newton polytopes (SNP). Thereby, in amenable cases, Nonvanishing is in the complexity class ${\sf NP} \cap {\sf coNP}$ of problems with good characterizations. This suggests a new algebraic combinatorics viewpoint on complexity theory. This paper focuses on the case of Schubert polynomials. These form a basis of all polynomials and appear in the study of cohomology rings of flag manifolds. We give a tableau criterion for Nonvanishing, from which we deduce the first polynomial time algorithm. These results are obtained from new characterizations of the Schubitope, a generalization of the permutahedron defined for any subset of the n x n grid.

研究动机与目标

• 解决代数组合数学中的非零系数问题——即判断一个多项式系数是否非零。
• 建立施鲁伯特多项式（作为所有多项式的一组基，并出现在旗流形上同调中）的非零系数具有良好刻画的结论。
• 基于表格开发一种组合准则，以判断施鲁伯特多项式系数是否非零。
• 将施鲁比托普（Schubitope）——对任意 n×n 网格子集的推广——作为理解施鲁伯特多项式牛顿多面体的关键工具进行刻画。
• 将施鲁伯特多项式的非零系数问题置于复杂性类 NP ∩ coNP 中，表明存在良好的刻画。

提出的方法

• 引入施鲁比托普作为对称群排列多面体的推广，其定义基于 n×n 网格的任意子集，用于建模施鲁伯特多项式的牛顿多面体。
• 开发一种表格准则，通过分析网格上相容表格的组合性质来判断系数是否非零。
• 利用施鲁伯特多项式的饱和牛顿多面体（SNP）性质，确保非零系数恰好对应施鲁比托普中的整数点。
• 利用表格准则，通过在多项式时间内验证表格的存在性，构建用于测试非零系数的多项式时间算法。
• 运用对偶性与凸几何，证明施鲁比托普的整数点恰好对应施鲁伯特多项式中非零系数的单项式。
• 通过证明存在与不存在此类表格均可高效验证，确立施鲁伯特多项式非零系数问题属于 NP ∩ coNP。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种组合表格准则，以判断施鲁伯特多项式中某系数是否非零？
• RQ2 如何将施鲁比托普刻画为对称群排列多面体的推广，以建模施鲁伯特多项式的牛顿多面体？
• RQ3 施鲁伯特多项式的非零系数问题是否具有良好的刻画，使其落入 NP ∩ coNP？
• RQ4 施鲁比托普的整数点与施鲁伯特多项式中非零系数的单项式之间存在何种关系？
• RQ5 该表格准则能否用于构建用于测试系数非零的多项式时间算法？

主要发现

• 建立了表格准则，通过检查关联网格上是否存在相容的带旗表格，来判断施鲁伯特多项式中系数是否非零。
• 证明了对任意 n×n 网格子集定义的施鲁比托普，即为相应施鲁伯特多项式的牛顿多面体，从而推广了对称群排列多面体。
• 证明了施鲁伯特多项式的非零系数问题属于 NP ∩ coNP，表明对“是”与“否”实例均存在良好刻画。
• 基于表格准则，首次构造了用于测试施鲁伯特多项式系数非零的多项式时间算法。
• 证明了施鲁比托普的整数点与施鲁伯特多项式中非零系数的单项式之间存在双射关系。
• 研究结果在代数组合数学与计算复杂性之间建立了新桥梁，表明饱和牛顿多面体使得非零系数的高效检测成为可能。