[论文解读] Computability Theory of Closed Timelike Curves

Scott Aaronson, Mohammad Bavarian+5 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文研究了配备德意志量子闭合类时间曲线（CTC）的图灵机的计算能力，表明经典与量子 CTC 计算机均可解决图灵可归约于停机问题的问题。关键结果是 CTC 使计算超越图灵机的范畴，实现超计算，且无论底层机器是经典还是量子，停机问题均作为该模型的完备预言机。

ABSTRACT

We study the question of what is computable by Turing machines equipped with time travel into the past; i.e., with Deutschian closed timelike curves (CTCs) having no bound on their width or length. An alternative viewpoint is that we study the complexity of finding approximate fixed points of computable Markov chains and quantum channels of countably infinite dimension. Our main result is that the complexity of these problems is precisely $Δ_2$, the class of languages Turing-reducible to the Halting problem. Establishing this as an upper bound for qubit-carrying CTCs requires recently developed results in the theory of quantum Markov maps.

研究动机与目标

• 确定配备闭合类时间曲线（CTC）的经典与量子图灵机的可计算性理论能力。
• 解决 CTC 是否能实现超越图灵机界限的超计算这一基础性问题。
• 分析德意志 CTC 模型中固定点一致性的作用，尤其在未施加大小限制的情况下。
• 比较德意志模型下的 CTC 与基于事后选择的模型（如 Lloyd 等人提出的模型）的计算能力。
• 探究在无界设置下，量子 CTC 计算机是否比经典 CTC 计算机具有更强的计算能力。

提出的方法

• 采用德意志的 CTC 模型，通过演化算子的固定点解强制实现概率一致性条件。
• 利用泛函分析中的 Riesz 表示定理，模拟量子 CTC 并证明其在可计算能力上与经典 CTC 等价。
• 分析涉及无穷几何级数的固定点分布，以处理不存在有限固定点的情形。
• 证明只要 CTC 能产生固定点，即使并非所有 CTC 都具备此类固定点，也能解决停机问题。
• 应用可计算性理论与复杂性理论的技术，证明经典与量子 CTC 计算机均可解决 $Δ_2^0$ 类中的问题，即相对于停机问题预言机可计算的问题。
• 与先前关于多项式有界 CTC 的研究进行对比，后者仅产生 PSPACE，同时将分析扩展至无界情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无任何大小或时间限制下，配备德意志 CTC 的经典或量子图灵机可解决哪些问题？
• RQ2 CTC 的存在是否允许实现超计算？若是，此类机器的精确计算能力为何？
• RQ3 在无界设置下，量子 CTC 计算机是否比经典 CTC 计算机更具计算能力？
• RQ4 当某些 CTC 演化过程不存在固定点时，这对模型整体可计算性有何影响？
• RQ5 在未施加大小限制时，基于事后选择的 CTC 模型的计算能力为何？

主要发现

• 配备 CTC 的计算机可解决恰好图灵可归约于停机问题的问题，即算术层级中的 $Δ_2^0$ 类。
• 经典与量子 CTC 计算机具有相同的可计算能力：$\mathsf{Computable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{QComputable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{Computable}^{\mathsf{Halt}}$。
• 即使并非所有 CTC 演化过程都存在固定点，能产生固定点的子集仍可通过固定点分布中的无穷几何级数解决停机问题。
• 量子 CTC 的证明依赖于泛函分析中的高级工具，特别是 Riesz 表示定理，以模拟混合态固定点。
• 与多项式有界 CTC（仅产生 PSPACE）不同，无界 CTC 可实现停机问题预言机的全部能力。
• 基于事后选择的 CTC 模型在施加有限性条件时仅产生可计算语言，而在无此条件时可产生所有非自适应归约至停机问题的语言。