[论文解读] Computation of time-optimal control problem with variation evolution principle

Sheng Zhang, Weiqi Qian|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的计算方法，用于通过变分演化法（VEM）求解时间最优控制问题，该方法通过庞特里亚金最小值原理（PMP）和偏微分方程（PDE）的离散化，将最优控制问题重新表述为有限维初值问题（IVP）。该方法通过以任意值初始化IVP，实现了对边界条件的灵活处理，并通过使用标准常微分方程（ODE）求解器的数值示例验证了其有效性。

ABSTRACT

An effective form of the Variation Evolving Method (VEM), which originates from the continuous-time dynamics stability theory, is developed for the classic time-optimal control problem with control constraint. Within the mathematic derivation, the Pontryagin's Minimum Principle (PMP) optimality conditions are used. Techniques including limited integrator and corner points are introduced to capture the right solution. The variation dynamic evolving equation may be reformulated as the Partial Differential Equation (PDE), and then discretized as finite-dimensional Initial-value Problem (IVP) to be solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) integration methods. An illustrative example is solved to show the effectiveness of the method. In particular, the VEM is further developed to be more flexible in treating the boundary conditions of the Optimal Control Problem (OCP), by initializing the transformed IVP with arbitrary initial values of variables.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解具有控制约束的时间最优控制问题的稳健计算框架。
• 以庞特里亚金最小值原理（PMP）为基础，推导最优性条件。
• 将变分动态重新表述为偏微分方程（PDE），并将其离散化为适合数值求解的初值问题（IVP）。
• 通过在变换后的IVP中允许任意初始值，提升边界条件处理的灵活性。
• 通过使用标准常微分方程（ODE）积分技术的数值示例，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 将变分演化法（VEM）从连续时间动态稳定性理论中改编，用于求解时间最优控制问题。
• 应用庞特里亚金最小值原理（PMP）推导控制问题的必要最优性条件。
• 将变分动态演化方程重新表述为偏微分方程（PDE），以建模变分的演化过程。
• 将PDE离散化为适合数值积分的有限维初值问题（IVP）。
• 使用标准常微分方程（ODE）积分方法求解所得IVP。
• 采用有限积分器和拐点检测等技术，精确捕捉最优控制解的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效将变分演化法适配于求解具有控制约束的时间最优控制问题？
• RQ2 庞特里亚金最小值原理在从变分动态中推导出可解IVP的过程中起到什么作用？
• RQ3 如何将变分演化方程的PDE表述离散化为适合数值计算的有限维IVP？
• RQ4 为何以任意初始值初始化IVP能提升边界条件处理的灵活性？
• RQ5 与现有时间最优控制方法相比，该方法在性能和精度方面表现如何？

主要发现

• 基于VEM的方法成功地通过PDE离散化，将时间最优控制问题转化为可解的初值问题。
• 通过在IVP中允许任意初始值，该方法实现了对边界条件的灵活处理，增强了数值鲁棒性。
• 采用有限积分器和拐点检测技术，显著提高了对bang-bang控制结构的捕捉精度。
• 数值示例表明，该方法能有效收敛至正确的最优时间解。
• 该方法计算效率高，仅依赖标准ODE求解器，无需复杂的非线性优化算法。
• 该方法在具有类似结构特性的更复杂最优控制问题中展现出良好的扩展潜力。