[论文解读] Computational Bottlenecks of Quantum Annealing

Sergey Knysh|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用 3

一句话总结

本文识别出在大自旋玻璃系统中量子退火的 O(log N) 计算瓶颈，表明不仅在临界点处会出现指数级小的能量间隙，而且在自旋玻璃相内部也会由于避免能级交叉而出现此类现象。通过在双模式高斯霍普菲尔德模型上使用精确的非微扰方法，本文表明这些瓶颈导致时间复杂度随 N 的分数次幂增长，其指数放缓程度比先前所担心的要温和。

ABSTRACT

A promising approach to solving hard binary optimisation problems is quantum adiabatic annealing (QA) in a transverse magnetic field. An instantaneous ground state --- initially a symmetric superposition of all possible assignments of $N$ qubits --- is closely tracked as it becomes more and more localised near the global minimum of the classical energy. Regions where the energy gap to excited states is small (e.g. at the phase transition) are the algorithm's bottlenecks. Here I show how for large problems the complexity becomes dominated by $O(\log N)$ bottlenecks inside the spin glass phase, where the gap scales as a stretched exponential. For smaller $N$, only the gap at the critical point is relevant, where it scales polynomially, as long as the phase transition is second order. This phenomenon is demonstrated rigorously for the two-pattern Gaussian Hopfield Model. Qualitative comparison with the Sherrington-Kirkpatrick Model leads to similar conclusions.

研究动机与目标

• 理解量子退火在临界点之外的计算瓶颈的起源。
• 严格分析自旋玻璃相中避免能级交叉在大系统中的作用。
• 确定在存在多个小间隙的情况下，时间复杂度是否保持多项式或变为指数级。
• 使用非微扰方法评估关于自旋玻璃中小间隙的微扰论论断的有效性。
• 为量子退火硬件中观察到的性能缩放提供理论基础。

提出的方法

• 使用精确的非微扰方法分析双模式高斯霍普菲尔德模型。
• 将横向场演化建模为受时变势能控制的随机过程，其演化由福克-普朗克方程描述。
• 应用标度假设，将福克-普朗克方程简化为具有特征值问题的常微分方程（ODE）。
• 利用艾里函数推导出普遍的渐近解，以捕捉全局最小值附近最低能级的统计特性。
• 引入无量纲时间变量 τ，并在 (μ, ν, ϑ) 空间中构建马尔可夫过程，以模拟系统的动力学。
• 通过重标定势能并将 τ 延展以收集足够统计量，进行数值模拟，结果可应要求提供。

实验结果

研究问题

• RQ1 是什么原因导致在量子退火的自旋玻璃相中能量间隙变为指数级小？
• RQ2 在大系统中此类瓶颈的数量有多少，其与系统大小 N 的缩放关系如何？
• RQ3 为什么自旋玻璃相中的避免交叉会导致时间复杂度仅为 N 的分数次幂，而非指数级增长？
• RQ4 自旋玻璃中能量级统计的非微扰行为与微扰预测有何不同？
• RQ5 是否能使用随机过程和极值统计方法严格描述隧穿瓶颈的机制？

主要发现

• 自旋玻璃相中的计算瓶颈数量按 O(log N) 缩放，而非单个临界点。
• 这些瓶颈处的能量间隙按拉伸指数缩放，导致时间复杂度随 N 的分数次幂增长。
• 间隙的主要贡献来自 ODE 解中的最小特征值 α = 1/4，与极值统计的已知结果一致。
• 系统在横向场 Γ 的几何等距取值处表现出一系列隧穿事件，表明能量景观具有层级结构。
• 时间复杂度比先前所担心的更温和，仅呈现 N 的分数次幂指数放缓，而非完整的指数缩放。
• 分析表明，当 Γ → 0 时瓶颈变得更容易，这与经典极限中隧穿被抑制的预期相反。