[论文解读] Computational Distinguishability of Quantum Channels

Bill Rosgen|ArXiv.org|Sep 22, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 131被引用 6

一句话总结

本文证明了量子通道的计算可区分性是QIP-完全的，这意味着它与量子互动证明系统所能解决的最难题目一样困难。研究还表明，即使在限制为混合酉、可降解、反可降解或对数深度的量子通道时，这种困难性依然存在，表明该问题在多个物理上相关的通道类别中具有稳健的不可解性。

ABSTRACT

The computational problem of distinguishing two quantum channels is central to quantum computing. It is a generalization of the well-known satisfiability problem from classical to quantum computation. This problem is shown to be surprisingly hard: it is complete for the class QIP of problems that have quantum interactive proof systems, which implies that it is hard for the class PSPACE of problems solvable by a classical computation in polynomial space. Several restrictions of distinguishability are also shown to be hard. It is no easier when restricted to quantum computations of logarithmic depth, to mixed-unitary channels, to degradable channels, or to antidegradable channels. These hardness results are demonstrated by finding reductions between these classes of quantum channels. These techniques have applications outside the distinguishability problem, as the construction for mixed-unitary channels is used to prove that the additivity problem for the classical capacity of quantum channels can be equivalently restricted to the mixed unitary channels.

研究动机与目标

• 对区分两个量子通道的计算复杂性进行表征，这是量子计算中的一个核心问题。
• 研究通道可区分性困难性是否在物理上合理的限制下依然存在，例如低深度电路或特定类型的通道。
• 探讨这些困难性结果对量子信息基础问题（包括量子通道容量可加性）的影响。
• 开发将一般量子通道约化为受限类（如混合酉通道）的模拟技术，以实现复杂性约化。
• 提供证据表明，尽管混合酉通道具有优良的数学性质，但其计算能力仍足以保持可区分性问题的全部复杂性。

提出的方法

• 基于约化的证明技术，通过将一般QIP问题约化到通道的受限类，证明量子电路可区分性（QCD）问题的QIP-完全性。
• 构建对数深度的量子电路，通过受控操作和辅助量子比特来模拟任意量子计算，同时保持计算能力。
• 设计一种模拟协议，利用Stinespring扩张和辅助态制备，近似表示任意量子通道为混合酉通道。
• 应用交换测试和受控交换构造，在常数深度设置下比较量子电路输出态。
• 使用钻石范数和保真度度量来量化可区分性，并建立通道输出差异的界限。
• 利用Schatten p-范数和最小输出熵的乘法性与可加性性质，将一般通道的复杂性与它们的混合酉对应物联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使限制在混合酉通道中，区分两个量子通道的问题是否仍具有计算困难性？
• RQ2 当限制在对数深度量子电路实现的通道时，QCD问题是否仍为QIP-完全？
• RQ3 可降解和反可降解通道的可区分性问题是否也能被证明为QIP-完全？
• RQ4 一般量子通道的类经典容量或最大输出p-范数的可加性，在多大程度上可以约化为混合酉通道的情形？
• RQ5 是否存在自然的量子计算模型（例如，具有混合初始态的模型），其中可区分性问题依然困难？

主要发现

• 量子电路可区分性（QCD）问题为QIP-完全，意味着它与任何可由量子互动证明系统解决的问题一样困难。
• 即使限制在对数深度的量子电路中，QCD问题仍为QIP-完全，表明低深度计算已足以实现完整的计算困难性。
• 该问题对可降解和反可降解通道也保持QIP-完全，表明这些物理上合理的类别并未简化问题。
• 尽管具有有利的数学结构，QCD问题对混合酉通道仍保持QIP-难，表明这些通道在该任务中具有计算通用性。
• 用于将一般通道约化为混合酉通道的模拟技术表明，Holevo容量或最大输出p-范数的可加性问题可在混合酉类中等价研究。
• 本文提出的约化提供了一般框架，可用于使用受限类模拟任意量子通道，具有超越复杂性理论的潜在应用。