[论文解读] Computational General Relativity in the Wolfram Language using Gravitas I: Symbolic and Analytic Computation

Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2023

Algebraic and Geometric AnalysisMathematics被引用 3

一句话总结

本文介绍了 Gravitas，这是一个基于 Wolfram Language 的开源计算框架，用于符号化与解析化的广义相对论，支持符号张量微积分、任意坐标系及几何结构的无缝集成。该框架可自动求解各类时空几何与物质场中的爱因斯坦方程及爱因斯坦-闵可夫斯基方程，并引入一种基于超图的自适应细化系统以实现数值演化，标志着统一符号-数值相对论计算的重大进展。

ABSTRACT

We introduce a new, open-source computational general relativity framework for the Wolfram Language called Gravitas, which boasts a number of novel and distinctive features as compared to the many pre-existing computational and numerical relativity frameworks currently available within the open-source community. These include, but are not limited to: seamless integration of its powerful symbolic and numerical subsystems, and, by extension, seamless transition between analytic/continuous representations and numerical/discrete representations of arbitrary spacetime geometries; highly modular, general and extensible representations of spacetime geometries, spacetime topologies, gauge conditions, coordinate systems, matter fields, evolution equations and initial data; ability to set up and run complex numerical relativity simulations, and to perform 2D and 3D visualizations, symbolic computations and numerical analysis (including the extraction of gravitational wave signals) on the resulting data, all from within a single notebook environment; and a totally-unstructured adaptive refinement scheme based on hypergraph rewriting, allowing for exceedingly efficient discretization and numerical evolution of Cauchy initial data for a wide range of challenging computational problems involving strong relativistic field dynamics. In this first in a series of two articles covering the framework, we focus on the design and capabilities of Gravitas's symbolic subsystem, including its general and flexible handling of arbitrary geometries parametrized by arbitrary curvilinear coordinate systems (along with an in-built library of standard metrics and coordinate conditions), as well as its various high-level tensor calculus and differential geometry features. We proceed to show how this subsystem can be used to solve the Einstein field equations both analytically and numerically.

研究动机与目标

• 解决在任意坐标系与时空几何中解析与数值求解爱因斯坦场方程的长期挑战。
• 通过在单一笔记本环境中统一符号计算与自适应数值相对论，克服现有框架的局限性。
• 在任意能量-物质分布与电磁场中，实现爱因斯坦方程及爱因斯坦-闵可夫斯基方程的自动化、可推广求解。
• 开发一个高度可扩展、模块化的框架，能够支持高级相对论理论及数学相对论与量子引力领域的未来扩展。
• 为下一代具备自适应网格细化与强大可视化能力的数值相对论模拟奠定基础。

提出的方法

• 在 Wolfram Language 中实现一个能够处理任意曲线坐标与一般时空几何的符号张量微积分子系统。
• 集成内置的标准度量、规范条件、应力-能量张量与能量条件库，以实现场方程的自动化设置。
• 利用 Wolfram Language 的符号引擎执行高级张量运算，包括黎曼、里奇与爱因斯坦张量的计算。
• 应用超图重写技术，实现完全无结构、自适应的时空离散化细化，用于数值演化。
• 设计模块化架构，支持时空几何的符号表示与数值表示之间的无缝转换。
• 通过专用的符号与数值求解器，支持相对论电磁学与物质场模型的集成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一个可扩展的计算框架中统一符号与数值相对论，以在任意几何中求解爱因斯坦方程？
• RQ2 基于超图的自适应细化方案在模拟强场相对论动力学方面，与传统结构化网格方法相比，其性能优势有多大？
• RQ3 Wolfram Language 中的符号子系统能否自动推导并求解复杂物质与场构型下的爱因斯坦-闵可夫斯基方程？
• RQ4 该框架的模块化设计在扩展至爱因斯坦-嘉当引力或标量-张量理论等高级理论时，具有何种支持能力？
• RQ5 将符号张量微积分与基于自适应超图的离散化相结合，会催生哪些新型数值相对论能力？

主要发现

• Gravitas 可在任意坐标系中完全自动化地执行爱因斯坦与爱因斯坦-闵可夫斯基场方程的符号计算，并内置支持标准度量与应力-能量张量。
• 该框架实现了时空表示在符号与数值形式之间的无缝转换，支持从初始数据到引力波提取的端到端计算。
• 基于超图的自适应细化方案可实现对柯西初始数据的高效且灵活的离散化，支持复杂且非平凡的时空拓扑与坐标结构。
• 符号子系统原生支持张量微积分，包括黎曼、里奇与爱因斯坦张量，并在计划扩展中支持如标架场与旋结等高级结构。
• 该框架支持数值相对论模拟的自动化设置与执行，包括二维与三维可视化及引力波信号提取。
• 符号与数值子系统的集成使得能够实现高层级、可推广的工作流，显著减少求解复杂相对论问题时的人工干预。