[论文解读] Computational multiscale methods for parabolic wave approximations in heterogeneous media

Eric T. Chung, Yalchin Efendiev+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 47被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种计算多尺度方法，用于在高度非均质介质中求解抛物波近似问题，通过结合向后欧拉时间离散化、用于空间多尺度降阶的约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM），以及沿演化方向的本征正交分解（POD）进行降维。在数值实验中，该方法实现了稳定且精确的解，相对误差约为10⁻³至10⁻⁴，表明其在变化介质和层状介质中具有高效性和鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, we develop a computational multiscale to solve the parabolic wave approximation with heterogeneous and variable media. Parabolic wave approximation is a technique to approximate the full wave equation. One benefit of the method is that: one wave propagation direction can be taken as an evolution direction, and we then can discretize it using a classical scheme like Backward Euler. Consequently, we obtain a set of quasi-gas-dynamic (QGD) models with different heterogeneous permeability fields. Then, we employ constraint energy minimization generalized multiscale finite element method (CEM-GMsFEM) to perform spatial discretization for the problem. The resulting system can be solved by combining the central difference in time evolution. Due to the variable media, we apply the technique of proper orthogonal decomposition (POD) to further the dimension of the problem and solve the corresponding model problem in the POD space instead of in the whole multiscale space spanned by all possible multiscale basis functions. We prove the stability of the full discretization scheme and give the convergence analysis of the proposed approximation scheme. Numerical results verify the effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 开发一种高效的计算多尺度框架，用于求解高度非均质和可变介质中的抛物波近似问题。
• 解决由于空间非均质性和多尺度特征导致在每个 z 层面上求解准气体动力学（QGD）模型所面临的计算挑战。
• 分别利用 CEM-GMsFED 和 POD 对空间和 z 演化方向上的问题进行降维。
• 建立抛物波模型全离散格式的稳定性和收敛性。
• 在层状介质和 Marmousi 型非均质介质上，数值验证该方法的精度和效率。

提出的方法

• 对 z 导数应用向后欧拉格式，将问题转化为每个 z 层面上的一系列二维 QGD 模型。
• 在粗网格上使用 CEM-GMsFEM 进行空间离散化，构建能够捕捉局部非均质性的多尺度基函数。
• 对所得 QGD 模型中的二阶时间导数 ∂ₜₜv 和一阶时间导数 ∂ₜv 应用中心差分格式进行离散化。
• 通过在组合的 CEM 基函数上应用本征正交分解（POD），构建降阶模型，以最小化能量范数下的投影误差。
• 在 POD 空间中求解降阶系统，显著降低自由度的同时保持精度。
• 证明向后欧拉格式的无条件稳定性，并基于 CEM-GMsFEM 粗网格收敛结果提供收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 多尺度有限元方法能否有效处理具有可变介质的抛物波近似中的空间非均质性？
• RQ2 在时间依赖的多尺度问题中，如何在不牺牲精度的前提下对 z 演化方向进行降维？
• RQ3 将 CEM-GMsFEM 与 POD 结合使用，对全离散格式的稳定性和收敛性有何影响？
• RQ4 在层状介质和复杂非均质介质（如 Marmousi 场）中，相对误差如何变化？
• RQ5 与精细网格求解器相比，所提出的方法能否在显著降低计算成本的同时实现高精度？

主要发现

• 在第一组实验中，针对具有层状结构的非均质介质，所提方法实现了约 10⁻³ 的相对误差。
• 在 Marmousi 实验中，最终时间步的相对误差约为 3.9×10⁻⁴，表明在复杂且真实的介质中具有高精度。
• 在第一组实验中，从 300 个 CEM 基函数中选取 100 个 POD 基函数，即可捕捉主要模态并实现最小投影误差。
• 在 Marmousi 案例中，从 300 个 CEM 基函数中选取 50 个 POD 基函数，表明实现了有效的维度降低。
• 向后欧拉格式确保了无条件稳定性，且在所提框架下，全格式被证明是稳定且收敛的。
• 数值结果证实，该方法在结构化和非结构化非均质介质（包括真实的地质构型）中均表现出高效性和鲁棒性。