[论文解读] Concentration of $1$-Lipschitz functions on manifolds with boundary with Dirichlet boundary condition

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文在下界 Ricci 曲率与平均曲率条件下，建立了带边 Riemann 流形上可观测内接半径的比较定理，引入了一种新不变量以量化满足 Dirichlet 条件的 1-Lipschitz 函数在边界处的集中性。证明了在谱隙或曲率条件下，此类流形序列表现出边界集中性，将 Gromov–Milman 与 Funano–Shioya 定理推广至非闭流形且带边的情形。

ABSTRACT

In this paper, we consider a concentration of measure problem on Riemannian manifolds with boundary. We study concentration phenomena of non-negative $1$-Lipschitz functions with Dirichlet boundary condition around zero, which is called boundary concentration phenomena. We first examine relation between boundary concentration phenomena and large spectral gap phenomena of Dirichlet eigenvalues of Laplacian. We will obtain analogue of the Gromov-V. D. Milman theorem and the Funano-Shioya theorem for closed manifolds. Furthermore, to capture boundary concentration phenomena, we introduce a new invariant called the observable inscribed radius. We will formulate comparison theorems for such invariant under a lower Ricci curvature bound, and a lower mean curvature bound for the boundary. Based on such comparison theorems, we investigate various boundary concentration phenomena of sequences of manifolds with boundary.

研究动机与目标

• 正式化并分析带边 Riemann 流形上满足 Dirichlet 边界条件的 1-Lipschitz 函数的边界集中现象。
• 引入可观测内接半径作为新不变量，用于度量非负 1-Lipschitz 函数在零附近满足 Dirichlet 条件时的集中性。
• 在边界 Ricci 曲率与平均曲率的下界条件下，建立可观测内接半径的比较定理。
• 将经典测度集中结果（如 Gromov–Milman、Funano–Shioya）推广至带边流形。
• 通过谱隙与曲率条件刻画表现出边界集中性的流形序列。

提出的方法

• 定义到边界的距离函数 ρ∂X(x) = dX(x, ∂X)，并用其定义子集 Ω ⊂ X 的内接半径 InRadΩ。
• 引入 ξ-部分内接半径 PartInRad(X;ξ)，即所有满足 μX(Ω) ≥ ξ 的 Borel 集 Ω 的 InRadΩ 的下确界。
• 定义 η-可观测内接半径 ObsInRad(X;−η) 为所有满足 φ|∂X = 0 的 1-Lipschitz 映射 φ: X → [0,∞) 的 PartInRad(Iφ;1−η) 的上确界。
• 利用 φ#μX 的推出测度定义 φ-屏 (I, dI, mI,φ)，从而通过 Ky Fan 距离研究集中性。
• 在 Ricci 曲率（Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κe−4f/(n−1)）与平均曲率（Hf,∂M ≥ (n−1)λe−2f/(n−1)）的下界条件下，建立可观测内接半径的比较定理。
• 应用这些定理推导出边界集中的充分条件，包括谱隙与曲率衰减条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，满足 Dirichlet 边界条件的 1-Lipschitz 函数会在带边流形上靠近零处集中？
• RQ2 可观测内接半径如何量化边界集中性？其与 Dirichlet Laplacian 谱隙的关系为何？
• RQ3 在 Ricci 曲率与平均曲率的下界条件下，可观测内接半径可建立何种比较定理？
• RQ4 Gromov–Milman 与 Funano–Shioya 关于测度集中的定理能否推广至带边流形？
• RQ5 何种曲率与谱条件可推出一列带边流形构成边界集中族？

主要发现

• 可观测内接半径 ObsInRad(X;−η) 关于 η 单调非增，且当 η ≥ 1 时恒为零。
• 序列 {Xn} 构成边界集中族当且仅当对所有 η > 0，有 ObsInRad(Xn;−η) → 0（当 n → ∞）。
• 若 Ric¹f,∂M⊥ ≥ 0 且 Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2δn 满足 nλne−2δn → ∞，则 {(Mn,fn)} 构成边界集中族。
• 若 Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κne−4fn/(n−1) 且 Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2fn/(n−1)，其中 fn ≤ (n−1)δn 且 nλne−2δn → ∞，则 {(Mn,fn)} 构成边界集中族。
• 当常数 κ < 0 且 λ = √|κ|，或在凸球条件成立时，若 fn ≤ (n−1)δ（δ ∈ ℝ），则结论相同。
• 构造了一个具体例子：令 M̃n = [0,∞) × S^{n−1}_{κn,λn,δn}，配备特定的扭曲度量与权重函数 f̃n，若 nλne−2δn → ∞，则 {(M̃n, f̃n)} 构成边界集中族。